東京大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
Aを0、Bを1、$\dots$、Hを7と番号づけ、反時計回りの移動を $+1$、時計回りの移動を $-1$ とする。表が出た回数を $k$ とすると、裏が出た回数は $10-k$ であり、10回後の位置は $k-(10-k)=2k-10$ だけAからずれる。

10回後にAにある条件は $2k-10\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ である。これは $k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ と同値であり、$0\leqq k\leqq 10$ から $k=1,5,9$ である。よって$$P(S)=\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_1+{}_{10}{\mathrm{C}}_5+{}_{10}{\mathrm{C}}_9}{2^{10}}=\frac{10+252+10}{1024}=\frac{17}{64}$$である。

(2)
まず、$S$ が起こる操作列は(1)より272通りである。このうち、点Fに一度も移動しないものを数えて引く。

Fを除いて、$m$ 回操作後に各頂点にいる通り数を数える。Fへ移動する操作は許さない。偶数回ではA,C,E,Gにしかいないので、必要な通り数を表にすると$$\begin{array}{crrrr}m& A& C& E& G\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 2& 2& 1& 0& 1\\ 4& 6& 4& 1& 3\\ 6& 19& 15& 5& 9\\ 8& 62& 54& 20& 28\\ 10& 206& 190& 74& 90\end{array}$$である。例えば、4回後のAの6通りは、2回後のB,Hに相当する位置から戻る通り数を足して得られる、というように、各成分は直前の隣接2頂点から更新している。

したがって、10回後にAへ戻り、かつFに一度も移動しない操作列は206通りである。ゆえに $S$ と $T$ がともに起こる操作列は $272-206=66$ 通りである。各操作列の確率はすべて $2^{-10}$ なので、求める確率は $$\frac{66}{2^{10}}=\frac{33}{512}$$ である。

円周上の歩行を整数直線上へほどく。事象Sを終点の変位 $-8,0,8$ に分け、点Fへの到達を高さ $-3$ または $5$ への到達と読み替える。変位0の46通りは反射原理で数える。

(1)
表を $+1$、裏を $-1$ とする。表が $k$ 回なら10回後の変位は $2k-10$ である。Aへ戻る条件は$$2k-10\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8),$$したがって $k=1,5,9$ である。よって$$P(S)=\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_1+{}_{10}{\mathrm{C}}_5+{}_{10}{\mathrm{C}}_9}{2^{10}}=\frac{17}{64}\mathrm{.}$$(2)
円周を整数直線上へほどくと、Fに移動することは位置 $-3$ または $5$ に到達することに対応する。

終点が $-8$ の10通りは必ず $-3$ を通り、終点が $8$ の10通りは必ず $5$ を通る。残る終点0の252通りを考える。

位置0から10歩で0へ戻る道のうち、高さ5へ到達する道を、最初に5へ着いた後の歩みを反転して数える。これは0から10へ進む道と1対1に対応するので1通りである。同様に高さ $-3$ へ到達する道は、0から $-6$ へ進む道と1対1に対応し、$${}_{10}{\mathrm{C}}_2=45$$通りである。10歩以内に高さ5と高さ $-3$ の両方へ到達することはできないため、終点0でFを踏む道は $1+45=46$ 通りである。

以上より、SとTがともに起こる操作列は$$10+46+10=66$$通りであり、求める確率は$$\frac{66}{2^{10}}=\frac{33}{512}$$である。