東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
色だけの並びで考える。12個の位置のうち赤玉4個の位置を選ぶ方法は，全体では ${}_{12}{\mathrm{C}}_4$ 通りである。赤玉がどの2個も隣り合わないように4個の位置を選ぶには，赤以外の8個を先に置いて，その前後と間にできる9個のすき間から4個を選べばよい。したがってその数は ${}_9{\mathrm{C}}_4$ 通りである。

黒玉3個，白玉5個の並び方 ${}_8{\mathrm{C}}_3$ は，分子・分母で共通に掛かるので，求める確率 $p$ は$$p=\frac{{}_9{\mathrm{C}}_4}{{}_{12}{\mathrm{C}}_4}=\frac{126}{495}=\frac{14}{55}$$である。

(2)
赤玉が隣り合わない並びは，まず黒玉3個と白玉5個の列を作り，その9個のすき間から赤玉を入れる4か所を選ぶことで一意に作られる。したがって，条件付き確率の母集団の個数は ${}_8{\mathrm{C}}_3\cdot {}_9{\mathrm{C}}_4$ である。

黒玉3個と白玉5個からなる長さ8の列で，隣り合う黒黒の箇所数を $j$ とする。$j=0$ は黒がどの2個も隣り合わない場合で，5個の白の前後と間の6個のすき間から黒を置く3か所を選ぶから ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りである。$j=2$ は3個の黒がひとかたまり $BBB$ になる場合で，このかたまりと5個の白を並べるから $6$ 通りである。全体は ${}_8{\mathrm{C}}_3=56$ 通りなので，$j=1$ の列は $56-20-6=30$ 通りである。

赤玉を入れたあと黒玉も隣り合わないようにするには，もとの黒白列で黒黒が隣り合っている $j$ 箇所には，必ず赤玉を1個入れなければならない。残りの赤玉 $4-j$ 個は，その $j$ 箇所を除いた $9-j$ 個のすき間から選んで入れる。よって条件を満たす並びの個数は $20{}_9{\mathrm{C}}_4+30{}_8{\mathrm{C}}_3+6{}_7{\mathrm{C}}_2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q}& {\displaystyle =\frac{20{}_9{\mathrm{C}}_4+30{}_8{\mathrm{C}}_3+6{}_7{\mathrm{C}}_2}{{}_8{\mathrm{C}}_3\cdot {}_9{\mathrm{C}}_4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{20\cdot 126+30\cdot 56+6\cdot 21}{56\cdot 126}=\frac{4326}{7056}=\frac{103}{168}}\end{array}$$である。

同色の玉を一列に並べたときに生じる『内部の隣接結合』を包除原理で切る。(1) は赤の3本の結合，(2) の分子は赤の3本と黒の2本を同時に処理する。条件付き確率では，赤非隣接かつ黒非隣接の並び数を，赤非隣接の並び数で割る。

同色の玉は区別しない色列として数える。各色の玉には，左から現れる順に赤 $R_1,\dots ,R_4$，黒 $B_1,\dots ,B_3$，白 $W_1,\dots ,W_5$ と番号を付けることにする。この番号付けは各色列に対して一意である。赤には $R_i{R}_{i+1}$ という3本，黒には $B_j{B}_{j+1}$ という2本の隣接結合がある。選んだ結合を縮めて一つのかたまりにする包除原理を用いる。

(1)
全色列の数は$$N=\frac{12!}{4!3!5!}=27720.$$赤が隣り合わない色列の数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_R}& {\displaystyle =\sum _{i=0}^3(-1{)}^i{}_3{\mathrm{C}}_i\frac{(12-i)!}{(4-i)!3!5!}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =27720-27720+7560-504}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7056.}\end{array}$$よって$$p=\frac{N_R}{N}=\frac{7056}{27720}=\frac{14}{55}\mathrm{.}$$(2)
赤も黒も同色どうしが隣り合わない色列の数は，赤の結合を $i$ 本，黒の結合を $j$ 本縮める二重の包除により$$N_{R,B}=\sum _{i=0}^3\sum _{j=0}^2(-1{)}^{i+j}{}_3{\mathrm{C}}_i{}_2{\mathrm{C}}_j\frac{(12-i-j)!}{(4-i)!(3-j)!5!}\mathrm{.}$$$j$ ごとにまとめて計算すると$$\begin{array}{cccc}& j=0& j=1& j=2\\ i=0& 27720& -13860& 1260\\ i=1& -27720& 15120& -1512\\ i=2& 7560& -4536& 504\\ i=3& -504& 336& -42\end{array}$$だから$$N_{R,B}=4326.$$条件『赤が隣り合わない』のもとでの確率なので$$q=\frac{N_{R,B}}{N_R}=\frac{4326}{7056}=\frac{103}{168}$$である。