東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

右端から2個の玉の色だけに注目する。白を $\mathrm{W}$，黒を $\mathrm{B}$ と書き，右から2個の状態を $\mathrm{W}\mathrm{W},\mathrm{W}\mathrm{B},\mathrm{B}\mathrm{W},\mathrm{B}\mathrm{B}$ で表す。新しく置いた玉によって変化する可能性があるのは，その1つ左の玉だけであるから，次の状態は現在の右端2個だけで決まる。

各状態からの推移は次の通りである。$$\begin{array}{ccc}\text{現在の状態}& \text{表が出る}& \text{裏が出る}\\ \mathrm{W}\mathrm{W}& \mathrm{W}\mathrm{W}& \mathrm{W}\mathrm{B}\\ \mathrm{W}\mathrm{B}& \mathrm{W}\mathrm{W}& \mathrm{B}\mathrm{B}\\ \mathrm{B}\mathrm{W}& \mathrm{W}\mathrm{W}& \mathrm{B}\mathrm{B}\\ \mathrm{B}\mathrm{B}& \mathrm{B}\mathrm{W}& \mathrm{B}\mathrm{B}\end{array}$$たとえば $\mathrm{W}\mathrm{B}$ の状態で表が出ると，並びの末尾が $\mathrm{W}\mathrm{B}\mathrm{W}$ となり，新しく置いた白玉は1つ左の黒玉と異なり，2つ左の白玉と一致する。そのため中央の黒玉が白玉に変わり，右端2個は $\mathrm{W}\mathrm{W}$ になる。

(1)
初期状態は $\mathrm{W}\mathrm{W}$ である。推移表を3回用いる。1回後は $\mathrm{W}\mathrm{W}:\frac{1}{2},\mathrm{W}\mathrm{B}:\frac{1}{2}$ である。2回後は$$\mathrm{W}\mathrm{W}:\frac{1}{2},\mathrm{W}\mathrm{B}:\frac{1}{4},\mathrm{B}\mathrm{B}:\frac{1}{4}$$である。さらに3回後は$$\mathrm{W}\mathrm{W}:\frac{3}{8},\mathrm{W}\mathrm{B}:\frac{1}{4},\mathrm{B}\mathrm{W}:\frac{1}{8},\mathrm{B}\mathrm{B}:\frac{1}{4}$$となる。

右から2番目の玉が白であるのは，状態が $\mathrm{W}\mathrm{W}$ または $\mathrm{W}\mathrm{B}$ のときである。したがって求める確率は $$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$$ である。

(2) $n$ 回後に状態 $\mathrm{W}\mathrm{W},\mathrm{W}\mathrm{B},\mathrm{B}\mathrm{W},\mathrm{B}\mathrm{B}$ である確率をそれぞれ $a_n,b_n,c_n,d_n$ とおく。初期状態は白玉2個なので $$a_0=1,b_0=c_0=d_0=0$$ である。推移表から$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_n+b_n+c_n}{2},}& {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_n}{2},}\\ {\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{d_n}{2},}& {\displaystyle d_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{b_n+c_n+d_n}{2}}\end{array}$$が成り立つ。

ここで $$u_n=a_n+d_n,v_n=a_n-d_n$$ とおく。全確率は1なので $a_n+b_n+c_n+d_n=1$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u_{n+1}}& {\displaystyle =a_{n+1}+d_{n+1}=\frac{a_n+d_n+2b_n+2c_n}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{u_n+2(1-u_n)}{2}=1-\frac{u_n}{2}}\end{array}$$である。また $$v_{n+1}=a_{n+1}-d_{n+1}=\frac{a_n-d_n}{2}=\frac{v_n}{2}$$ である。初期値は $u_0=1,v_0=1$ である。

まず $u_{n+1}=1-u_n\mathrm{/}2$ を解く。この漸化式の一定値を $u$ とすると $$u=1-\frac{u}{2}$$ より $u=2\mathrm{/}3$ である。よって $$u_{n+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}(u_n-\frac{2}{3})$$ となり，$$u_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n$$ である。また $$v_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$ である。したがって$$a_n=\frac{u_n+v_n}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{1}{2^{n+1}}$$を得る。

右から2番目が白である確率は $a_n+b_n$ である。$n\geqq 1$ では $b_n=a_{n-1}\mathrm{/}2$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n+b_n}& {\displaystyle =a_n+\frac{a_{n-1}}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{1}{2^{n+1}}\}+\frac{1}{2}\{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}+\frac{1}{2^n}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^n}}\end{array}$$である。よって求める確率は $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^n}$ である。

(3)
右から1番目と2番目がともに白であるのは，状態が $\mathrm{W}\mathrm{W}$ のときである。したがって求める確率は $a_n$ であり，(2)で求めた式から $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{1}{2^{n+1}}$ である。