東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

線分 $AB$ を $z$ 軸のまわりに回転して得られる曲面 $S$ を考える。高さを $z$、$z$ 軸からの距離を $r$ とすると、点 $A(0,0,2)$ は $(r,z)=(0,2)$、点 $B(1,0,1)$ は $(r,z)=(1,1)$ に対応する。したがって $S$ は $$r=2-z,1\leqq z\leqq 2$$ で表される。 $S$ 上の点 $P$ の水平成分を $\mathit{p}$ とすると $\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }=2-z$ である。$Q$ は $xy$ 平面上にあるので、$Q$ の水平成分を $\mathit{q}$ とすると $$P{Q}^2=\mathrm{\mid }\mathit{q}-\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2+z^2$$ である。条件 $PQ=2$ より $$\mathrm{\mid }\mathit{q}-\mathit{p}\mathrm{\mid }=\sqrt{4-z^2}$$ である。

中点 $M$ の高さを $$Z=\frac{z}{2}$$ とおくと $\frac{1}{2}\leqq Z\leqq 1$ である。また $M$ の水平成分は$$\frac{\mathit{p}+\mathit{q}}{2}=\mathit{p}+\frac{\mathit{q}-\mathit{p}}{2}$$と書ける。ここで $\mathit{p}$ は長さ $R=2-z=2(1-Z)$ のベクトルとして任意の向きをとり、$(\mathit{q}-\mathit{p})\mathrm{/}2$ は長さ $$s=\frac{1}{2}\sqrt{4-z^2}=\sqrt{1-Z^2}$$ のベクトルとして任意の向きをとる。

したがって高さ $Z$ における $M$ の水平距離 $\rho$ は、2つのベクトルの和の長さとして $$\mathrm{\mid }R-s\mathrm{\mid }\leqq \rho \leqq R+s$$ をちょうど動く。よって高さ $Z$ での断面は円環であり、その面積 $A(Z)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(Z)}& {\displaystyle =\pi \{(R+s{)}^2-(R-s{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi Rs}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\pi (1-Z)\sqrt{1-Z^2}}\end{array}$$である。ここでは $R$ と $s$ の大小にかかわらず、内半径は $\mathrm{\mid }R-s\mathrm{\mid }$ なので同じ式でよい。

したがって求める体積 $V$ は $$V={\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}8\pi (1-Z)\sqrt{1-Z^2}dZ$$ である。必要な積分を計算する。$Z=\sin t$ とおくと、$Z=1\mathrm{/}2,1$ はそれぞれ $t=\pi \mathrm{/}6,\pi \mathrm{/}2$ に対応するから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}2}^1\sqrt{1-Z^2}dZ}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}]}_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}}\end{array}$$であり、また$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}Z\sqrt{1-Z^2}dZ={[-\frac{1}{3}(1-Z^2{)}^{3\mathrm{/}2}]}_{1\mathrm{/}2}^1=\frac{\sqrt{3}}{8}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}2}^1(1-Z)\sqrt{1-Z^2}dZ}& {\displaystyle =\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}}\end{array}$$となる。

したがって$$V=8\pi (\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4})=\frac{4{\pi }^2}{3}-2\sqrt{3}\pi$$である。

中点 $M$ から点 $P,Q$ を逆算する。高さ $Z$ を固定すると、$P$ の水平成分は半径 $R=2(1-Z)$ の円周、$M-P$ の水平成分は半径 $s=\sqrt{1-Z^2}$ の円周を動くので、断面を内外半径 $\mathrm{\mid }R-s\mathrm{\mid },R+s$ の円環として積分する。

中点 $M$ から逆に条件を見ても同じ断面が得られる。$M$ の高さを $Z$ とすると、$P$ の高さは $2Z$ でなければならない。したがって $P$ の水平成分 $\mathit{p}$ は $$\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }=2-2Z=2(1-Z)$$ を満たす。

また $M$ の水平成分を $\mathit{m}$ とすると、$Q=2M-P$ である。条件 $PQ=2$ は $\mathrm{\mid }P-M\mathrm{\mid }=1$ と同値であり、$P$ と $M$ の高さの差は $Z$ であるから $$\mathrm{\mid }\mathit{m}-\mathit{p}\mathrm{\mid }=\sqrt{1-Z^2}$$ である。つまり高さ $Z$ の断面は、半径 $2(1-Z)$ の円周上の各点を中心とする半径 $\sqrt{1-Z^2}$ の円の和集合である。これは $$\mid 2(1-Z)-\sqrt{1-Z^2}\mid \leqq \rho \leqq 2(1-Z)+\sqrt{1-Z^2}$$ を満たす円環であり、断面積は主解と同じく $8\pi (1-Z)\sqrt{1-Z^2}$ である。以後の積分は主解と同じで、体積は $\frac{4{\pi }^2}{3}-2\sqrt{3}\pi$ となる。