東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
反射によって，座標の絶対値は$1$と$2$のままであり，符号と順序だけが変わる。したがってPがとりうる点は $(2,1),(2,-1),(-2,1),(-2,-1),(1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2)$ である。

(2)
まず，初期点$(2,1)$から1秒後に到達する点は $(2,-1),(-2,1),(1,2),(-1,-2)$ の4点である。これらからさらに1秒動くと $(2,1),(-2,-1),(1,-2),(-1,2)$ の4点に戻る。したがって，奇数秒後には$(2,1)$にも$(-2,-1)$にもいないので，その場合は2つの確率はいずれも0で等しい。

偶数秒後を考える。次の4点を $$A=(2,1),A^{\mathrm{\prime }}=(-2,-1),B=(1,-2),B^{\mathrm{\prime }}=(-1,2)$$ とおく。2秒後の遷移を調べると，$A$または$A^{\mathrm{\prime }}$からは $A,A^{\mathrm{\prime }}\text{へそれぞれ }\frac{5}{18},B,B^{\mathrm{\prime }}\text{へそれぞれ }\frac{2}{9}$ の確率で移る。また，$B$または$B^{\mathrm{\prime }}$からは $A,A^{\mathrm{\prime }}\text{へそれぞれ }\frac{2}{9},B,B^{\mathrm{\prime }}\text{へそれぞれ }\frac{5}{18}$ の確率で移る。したがって，2秒ごとの遷移では，$A$と$A^{\mathrm{\prime }}$へ移る確率は常に同じである。

初期から2秒後も，実際に $P(A)=P(A^{\mathrm{\prime }})=\frac{5}{18}$ である。よって帰納的に，すべての正の整数$n$について，$n$秒後に$(2,1)$にいる確率と$(-2,-1)$にいる確率は等しい。

(3)
奇数秒後には$(2,1)$にいないので，$n$が奇数のとき求める確率は $0$ である。

$n=2k$とする。$2k$秒後に，$A$と$A^{\mathrm{\prime }}$の各点にいる確率を$x_k$，$B$と$B^{\mathrm{\prime }}$の各点にいる確率を$y_k$とおく。(2)の2秒遷移表から，$k\geqq 1$に対して $$x_{k+1}=\frac{5}{9}{x}_k+\frac{4}{9}{y}_k,y_{k+1}=\frac{4}{9}{x}_k+\frac{5}{9}{y}_k$$ である。実際，例えば$A$へ来る確率は，$A,A^{\mathrm{\prime }}$からそれぞれ$\frac{5}{18}$，$B,B^{\mathrm{\prime }}$からそれぞれ$\frac{2}{9}$であるため$$\frac{5}{18}{x}_k+\frac{5}{18}{x}_k+\frac{2}{9}{y}_k+\frac{2}{9}{y}_k=\frac{5}{9}{x}_k+\frac{4}{9}{y}_k$$となる。

初期から2秒後には $$x_1=\frac{5}{18},y_1=\frac{2}{9}$$ である。上の漸化式を引き算すると $$x_{k+1}-y_{k+1}=\frac{1}{9}(x_k-y_k)$$ であり，$$x_1-y_1=\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\frac{1}{18}$$ だから $$x_k-y_k=\frac{1}{18}{\left(\frac{1}{9}\right)}^{k-1}$$ である。

また，$2k$秒後には$A,A^{\mathrm{\prime }},B,B^{\mathrm{\prime }}$のいずれかにいるので $2x_k+2y_k=1$ すなわち $x_k+y_k=\frac{1}{2}$ である。したがって$$x_k=\frac{1}{2}\{(x_k+y_k)+(x_k-y_k)\}=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}{\left(\frac{1}{9}\right)}^{k-1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4\cdot 9^k}$$である。

求める確率は$A=(2,1)$にいる確率なので，$$\{\begin{array}{ll}0& (n\text{が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{4\cdot 9^{n\mathrm{/}2}}}& (n\text{が偶数})\end{array}$$である。

偶数秒だけを取り出した2秒遷移は，2点ずつをまとめると次の状態図になる。

この図から，和 $x_k+y_k$ は保存され，差 $x_k-y_k$ は2秒ごとに $1\mathrm{/}9$ 倍になることが同時に読み取れる。