東京大学 2023年度文系数学第1問解答・解説

問題

$k$ を正の実数とし，2次方程式 $x^{2} + x - k = 0$ の2つの実数解を $α$ ， $β$ とする。 $k$ が $k > 2$ の範囲を動くとき，

\frac{α ^{3}}{1 - β} + \frac{β ^{3}}{1 - α}

の最小値を求めよ。

出典：東京大学 2023年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1（標準解法）

解と係数の関係から $α + β = - 1$ ， $α β = - k$ を使い，与式を $α, β$ の対称式に直して $k$ だけの関数にする。分母 $(1 - α) (1 - β)$ は $2 - k$ で， $k > 2$ のため符号が負であることを意識して整理する。最後は $u = k - 2 > 0$ とおき， $2 u + 24/ u$ の最小値を相加相乗平均，または微分で求め，等号条件が $k > 2$ の範囲に入ることを確認する。

別解（根ごとの整式除法）

分母をそれぞれ $α + 2, β + 2$ と読み替え， $x^{3} / (x + 2)$ を整式除法する。二つの根に代入して足すと，低次の対称式と逆数和だけで一気に $k$ の式になる。最後は平方完成に相当する恒等式で下限と等号条件を同時に示す。

解答

解法1（標準解法）

解と係数の関係より $α + β = - 1, α β = - k$ である。 $k > 0$ なので2つの解は実数であり，また $k > 2$ より後で現れる分母 $2 - k$ は0でない。

与式を $E$ とおく。共通分母にすると

E = \frac{α ^{3} ( 1 - α ) + β ^{3} ( 1 - β )}{( 1 - α ) ( 1 - β )} = \frac{( α ^{3} + β ^{3} ) - ( α ^{4} + β ^{4} )}{( 1 - α ) ( 1 - β )}

である。まず分母は $(1 - α) (1 - β) = 1 - (α + β) + α β = 1 - (- 1) - k = 2 - k$ である。

次に分子を求める。 $s = α + β = - 1$ ， $p = α β = - k$ とおくと $α^{3} + β^{3} = s^{3} - 3 p s = (- 1)^{3} - 3 (- k) (- 1) = - 1 - 3 k$ である。また $α^{2} + β^{2} = s^{2} - 2 p = 1 + 2 k$ より

α^{4} + β^{4} = (α^{2} + β^{2})^{2} - 2 α^{2} β^{2} = (1 + 2 k)^{2} - 2 k^{2} = 1 + 4 k + 2 k^{2}

である。したがって

E = \frac{( - 1 - 3 k ) - ( 1 + 4 k + 2 k ^{2} )}{2 - k} = \frac{- 2 - 7 k - 2 k ^{2}}{2 - k} = \frac{2 k ^{2} + 7 k + 2}{k - 2}

となる。さらに $2 k^{2} + 7 k + 2 = 2 k (k - 2) + 11 (k - 2) + 24$ であるから $E = 2 k + 11 + \frac{24}{k - 2}$ である。

ここで $u = k - 2$ とおくと， $u > 0$ であり， $E = 2 u + 15 + \frac{24}{u}$ となる。相加相乗平均より $2 u + \frac{24}{u} ≧ 2 2 u \cdot \frac{24}{u} = 83$ である。等号は $2 u = \frac{24}{u}, u^{2} = 12$ すなわち $u = 23$ のとき成り立つ。このとき $k = 2 + 23 > 2$ で条件を満たす。よって求める最小値は $15 + 83$ である。

別解（根ごとの整式除法）

解と係数の関係から

α + β = - 1, α β = - k

である。また

1 - β = α + 2, 1 - α = β + 2

だから，与式を $E$ とすると

E = \frac{α ^{3}}{α + 2} + \frac{β ^{3}}{β + 2}

である。

ここで整式除法により

\frac{x ^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}

である。したがって

E = (α^{2} + β^{2}) - 2 (α + β) + 8 - 8 (\frac{1}{α + 2} + \frac{1}{β + 2}) .

各項は

α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 1 + 2 k

および

\frac{1}{α + 2} + \frac{1}{β + 2} = \frac{α + β + 4}{α β + 2 ( α + β ) + 4} = \frac{3}{2 - k}

となる。よって

E = 2 k + 11 + \frac{24}{k - 2} .

$u = k - 2 > 0$ とおけば

E = 15 + 2 u + \frac{24}{u} = 15 + 83 + \frac{2 ( u - 2 3 ) ^{2}}{u} .

右辺の最後の項は0以上であり， $u = 23$ ，すなわち $k = 2 + 23$ のときに限り0となる。この値は $k > 2$ を満たすから，求める最小値は

15 + 83

である。

東京大学 2023年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（根ごとの整式除法）

解答

解法1（標準解法）

別解（根ごとの整式除法）

東京大学 2023年度
文系数学第1問