東京大学 2023年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文科一類・文科二類・文科三類
- 分野
- 積分、微分、図形と方程式
- 解法
- 絶対値の処理、面積計算、微分による最大最小、場合分け
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 12分
問題
座標平面上の放物線y=3x2−4xをCとおき，直線y=2xをlとおく。実数tに対し，C上の点P(t,3t2−4t)とlの距離をf(t)とする。
(1) −1≦a≦2の範囲の実数aに対し，定積分
g(a)=∫−1af(t)dt
を求めよ。
(2) aが0≦a≦2の範囲を動くとき，g(a)−f(a)の最大値および最小値を求めよ。
出典：東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
解法1（標準解法）
点と直線の距離公式で f(t) を絶対値つきの2次式として表す。[−1,2] では符号が t=0 で変わるので，g(a) は a≦0 と a≧0 に分けて積分する。(2) は 0≦a≦2 の式だけを使い，g(a)−f(a) の分子を3次関数 ϕ(a) として微分する。臨界点と両端 a=0,2 の値を必ず比較し，最大値・最小値を決める。
別解（微積分の基本定理から直接増減を調べる）
(1) で得た g を改めて展開せず，F(a)=g(a)−f(a) と置いて g′(a)=f(a) を使う。F′(a)=f(a)−f′(a) を因数分解すれば，区間内の増減と端点比較だけで最大・最小が決まる。
解答
解法1（標準解法）
(1)
直線 l は 2x−y=0 である。点 P(t,3t2−4t) と直線 l の距離は
f(t)=5∣2t−(3t2−4t)∣=5∣6t−3t2∣=53∣t(2−t)∣
である。 −1≦t<0 では t<0，2−t>0 なので t(2−t)<0 である。一方，0≦t≦2 では t(2−t)≧0 である。したがって
f(t)=⎩⎨⎧53(t2−2t)53(2t−t2)(−1≦t<0),(0≦t≦2)
である。 −1≦a≦0 のとき
g(a)=∫−1a53(t2−2t)dt=51[t3−3t2]−1a=5a3−3a2+4
である。0≦a≦2 のときは
g(a)=g(0)+∫0a53(2t−t2)dt=54+51[3t2−t3]0a=54+3a2−a3
である。よって
g(a)=⎩⎨⎧5a3−3a2+454+3a2−a3(−1≦a≦0),(0≦a≦2)
である。
(2)
0≦a≦2 では g(a)=54+3a2−a3,f(a)=53a(2−a) である。したがって
g(a)−f(a)=54+3a2−a3−3(2a−a2)=5−a3+6a2−6a+4
である。 ϕ(a)=−a3+6a2−6a+4 とおくと ϕ′(a)=−3a2+12a−6=−3{a−(2−2)}{a−(2+2)} である。0≦a≦2 にある臨界点は a=2−2 だけである。また符号は ϕ′(a)<0(0<a<2−2),ϕ′(a)>0(2−2<a<2) となる。よって ϕ(a) は a=2−2 で最小値をとり，最大値は端点で比較すればよい。
各値は ϕ(0)=4,ϕ(2)=8 であり，さらに
ϕ(2−2)=−(2−2)3+6(2−2)2−6(2−2)+4=8−42
である。8>4 なので，最大値は a=2 で 58 最小値は a=2−2 で 58−42 である。
別解（微積分の基本定理から直接増減を調べる）
(1)
点と直線の距離公式より
したがって −1≦t≦0 ではf(t)=3(t2−2t)/5，0≦t≦2 ではf(t)=3(2t−t2)/5 である。これを積分して
g(a)=⎩⎨⎧5a3−3a2+454+3a2−a3(−1≦a≦0),(0≦a≦2)
を得る。
(2)
F(a)=g(a)−f(a) とおく。0≦a≦2 では微積分の基本定理によりg′(a)=f(a) だから
F′(a)=f(a)−f′(a)=53(2a−a2)−6(1−a)=−53{a−(2−2)}{a−(2+2)}.
区間 [0,2] にある零点は a=2−2 だけである。したがってF は [0,2−2] で減少し，[2−2,2] で増加する。
比較に必要な値は
F(0)=54,F(2)=58,F(2−2)=58−42
である。よって最大値は a=2 のとき
最小値は a=2−2 のとき
である。
