東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
直線 $l$ は $2x-y=0$ である。点 $P(t,3t^2-4t)$ と直線 $l$ の距離は$$f(t)=\frac{\mathrm{\mid }2t-(3t^2-4t)\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}=\frac{\mathrm{\mid }6t-3t^2\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}=\frac{3\mathrm{\mid }t(2-t)\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}$$である。 $-1\leqq t<0$ では $t<0$，$2-t>0$ なので $t(2-t)<0$ である。一方，$0\leqq t\leqq 2$ では $t(2-t)\geqq 0$ である。したがって$$f(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3(t^2-2t)}{\sqrt{5}}}& (-1\leqq t<0),\\ {\displaystyle \frac{3(2t-t^2)}{\sqrt{5}}}& (0\leqq t\leqq 2)\end{array}$$である。 $-1\leqq a\leqq 0$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^a\frac{3(t^2-2t)}{\sqrt{5}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}{[t^3-3t^2]}_{-1}^a=\frac{a^3-3a^2+4}{\sqrt{5}}}\end{array}$$である。$0\leqq a\leqq 2$ のときは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(a)}& {\displaystyle =g(0)+{\int }_0^a\frac{3(2t-t^2)}{\sqrt{5}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}{[3t^2-t^3]}_0^a=\frac{4+3a^2-a^3}{\sqrt{5}}}\end{array}$$である。よって$$g(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a^3-3a^2+4}{\sqrt{5}}}& (-1\leqq a\leqq 0),\\ {\displaystyle \frac{4+3a^2-a^3}{\sqrt{5}}}& (0\leqq a\leqq 2)\end{array}$$である。

(2) $0\leqq a\leqq 2$ では $$g(a)=\frac{4+3a^2-a^3}{\sqrt{5}},f(a)=\frac{3a(2-a)}{\sqrt{5}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(a)-f(a)}& {\displaystyle =\frac{4+3a^2-a^3-3(2a-a^2)}{\sqrt{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-a^3+6a^2-6a+4}{\sqrt{5}}}\end{array}$$である。 $\varphi (a)=-a^3+6a^2-6a+4$ とおくと $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)=-3a^2+12a-6=-3\{a-(2-\sqrt{2})\}\{a-(2+\sqrt{2})\}$$ である。$0\leqq a\leqq 2$ にある臨界点は $a=2-\sqrt{2}$ だけである。また符号は $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)<0(0<a<2-\sqrt{2}),{\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)>0(2-\sqrt{2}<a<2)$$ となる。よって $\varphi (a)$ は $a=2-\sqrt{2}$ で最小値をとり，最大値は端点で比較すればよい。

各値は $$\varphi (0)=4,\varphi (2)=8$$ であり，さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \varphi (2-\sqrt{2})}& {\displaystyle =-(2-\sqrt{2}{)}^3+6(2-\sqrt{2}{)}^2-6(2-\sqrt{2})+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8-4\sqrt{2}}\end{array}$$である。$8>4$ なので，最大値は $a=2$ で $\frac{8}{\sqrt{5}}$ 最小値は $a=2-\sqrt{2}$ で $\frac{8-4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ である。

(1) で得た $g$ を改めて展開せず，$F(a)=g(a)-f(a)$ と置いて $g^{\mathrm{\prime }}(a)=f(a)$ を使う。$F^{\mathrm{\prime }}(a)=f(a)-f^{\mathrm{\prime }}(a)$ を因数分解すれば，区間内の増減と端点比較だけで最大・最小が決まる。

(1)
点と直線の距離公式より$$f(t)=\frac{3\mathrm{\mid }t(2-t)\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}\mathrm{.}$$したがって $-1\leqq t\leqq 0$ では
$f(t)=3(t^2-2t)\mathrm{/}\sqrt{5}$，$0\leqq t\leqq 2$ では
$f(t)=3(2t-t^2)\mathrm{/}\sqrt{5}$ である。これを積分して$$g(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a^3-3a^2+4}{\sqrt{5}}}& (-1\leqq a\leqq 0),\\ {\displaystyle \frac{4+3a^2-a^3}{\sqrt{5}}}& (0\leqq a\leqq 2)\end{array}$$を得る。

(2)
$F(a)=g(a)-f(a)$ とおく。$0\leqq a\leqq 2$ では微積分の基本定理により
$g^{\mathrm{\prime }}(a)=f(a)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =f(a)-f^{\mathrm{\prime }}(a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3(2a-a^2)-6(1-a)}{\sqrt{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{3}{\sqrt{5}}\{a-(2-\sqrt{2})\}\{a-(2+\sqrt{2})\}\mathrm{.}}\end{array}$$区間 $[0,2]$ にある零点は $a=2-\sqrt{2}$ だけである。したがって
$F$ は $[0,2-\sqrt{2}]$ で減少し，
$[2-\sqrt{2},2]$ で増加する。

比較に必要な値は$$F(0)=\frac{4}{\sqrt{5}},F(2)=\frac{8}{\sqrt{5}},F(2-\sqrt{2})=\frac{8-4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$$である。よって最大値は $a=2$ のとき$$\frac{8}{\sqrt{5}},$$最小値は $a=2-\sqrt{2}$ のとき$$\frac{8-4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$$である。