東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$n=2m+1$とおく。$n$は5以上の奇数なので$m\geqq 2$である。4点の選び方の総数は ${}_n{\mathrm{C}}_4$ 通りである。

選んだ4点を頂点とする四角形が中心$O$を内部に含まない場合を数える。円周上の点を選んだとき，その凸包が中心を含まないことは，選んだ点がある半円内にすべて入ることと同値である。ここで$n$は奇数なので，正$n$角形の頂点どうしがちょうど直径の両端に来ることはない。したがって「半円の端点に頂点があるかどうか」による重複を気にしなくてよい。

中心を含まない4点を時計回りに見て，その4点のうち最初の頂点を1つ決める。この頂点を固定すると，4点が半円内に入るためには，残り3点はそこから時計回りに$m$個先までの$m$個の頂点の中から選ばれなければならない。逆に，そのように選んだ4点は，最初の頂点から$m$個先までの弧，すなわち中心角 $$\frac{2\pi m}{2m+1}<\pi$$ の範囲に入るので，ある半円内に含まれ，中心$O$を内部に含まない。

また，この「時計回りに最初の頂点」は一意に決まる。もし別の選び方で同じ4点を数えられるなら，選んだ4点が同時に2つの異なる半円未満の弧の中で最初の頂点を持つことになるが，これは最小の含有弧の始点が一意であることに反する。

したがって，中心$O$を内部に含まない選び方は $n\cdot {}_m{\mathrm{C}}_3$ 通りである。よって求める確率は $$p_n=1-\frac{n\cdot {}_m{\mathrm{C}}_3}{{}_n{\mathrm{C}}_4}$$ である。

$m=\frac{n-1}{2}$を代入して整理する。 $${}_m{\mathrm{C}}_3=\frac{m(m-1)(m-2)}{6}=\frac{(n-1)(n-3)(n-5)}{48}$$ であり，$${}_n{\mathrm{C}}_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$ であるから，$$\frac{n\cdot {}_m{\mathrm{C}}_3}{{}_n{\mathrm{C}}_4}=\frac{n\cdot \frac{(n-1)(n-3)(n-5)}{48}}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}=\frac{n-5}{2(n-2)}$$となる。したがって $$p_n=1-\frac{n-5}{2(n-2)}=\frac{n+1}{2(n-2)}$$ である。よって $$p_n=\frac{n+1}{2(n-2)}$$ である。

「中心を含まない」4点の数え方は，次の模式図のように4点が長さ $\pi$ 未満の弧に収まる場合を数えることに対応する。

奇数 $n$ では直径の両端に頂点が同時に来ないため，含有弧の最初の頂点が一意になり，$n{}_m{\mathrm{C}}_3$ に重複が生じない。