東京大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上に2点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 1)$ をとる。 $x$ 軸上の2点 $P (p, 0)$ ， $Q (q, 0)$ が，次の条件(i)，(ii)をともに満たすとする。

(i) $0 < p < 1$ かつ $p < q$

(ii) 線分 $A P$ の中点を $M$ とするとき， $∠ O A P = ∠ P M Q$

(1) $q$ を $p$ を用いて表せ。

(2) $q = \frac{1}{3}$ となる $p$ の値を求めよ。

(3) $△ O A P$ の面積を $S$ ， $△ P M Q$ の面積を $T$ とする。 $S > T$ となる $p$ の範囲を求めよ。

出典：東京大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1（傾きと正接公式）

$M$ の座標を求め，まず $∠ O A P$ の正接が $p$ であることを確認する。次に，直線 $M P$ と $M Q$ の傾きを出し，2直線のなす角の正接を傾きの公式で $p, q$ の式にする。分母が正であることを確認して $tan ∠ P M Q = p$ と置けば $q$ が求まる。(2)は得た式に $q = 1/3$ を代入して3次式を因数分解する。(3)は $S = p /2$ ， $T = (q - p) /4$ と表し， $S > T$ を $q < 3 p$ に直して $p$ の不等式へ落とす。

別解（回転ベクトルで角条件を処理）

角の正接公式を展開せず，ベクトル $M P$ を $α = ∠ O A P$ だけ回転した方向が $M Q$ と一致することを使う。 $tan α = p$ から回転後の傾きを直接求め， $q$ を決める。後半は代入と面積比較で処理する。

解答

解法1（傾きと正接公式）

(1)

$A (0, 1)$ ， $P (p, 0)$ であるから，線分 $A P$ の中点 $M$ は $M (\frac{p}{2}, \frac{1}{2})$ である。

まず， $∠ O A P$ を $α$ とおく。三角形 $A O P$ は $O$ で直角で， $A O = 1, O P = p$ であるから $tan α = p$ である。

次に $∠ P M Q$ を傾きで表す。直線 $M P$ の傾きは $\frac{0 - \frac{1}{2}}{p - \frac{p}{2}} = - \frac{1}{p}$ である。また，直線 $M Q$ の傾きは $\frac{0 - \frac{1}{2}}{q - \frac{p}{2}} = - \frac{1}{2 q - p}$ である。 $p < q$ より $2 q - p > 0$ であり，2直線の傾きの差を用いると

tan ∠ P M Q = \frac{( - \frac{1}{2 q - p} ) - ( - \frac{1}{p} )}{1 + ( - \frac{1}{p} ) ( - \frac{1}{2 q - p} )} = \frac{\frac{1}{p} - \frac{1}{2 q - p}}{1 + \frac{1}{p ( 2 q - p )}} = \frac{2 ( q - p )}{p ( 2 q - p ) + 1}

である。

条件(ii)より $∠ O A P = ∠ P M Q$ であり，どちらの角も鋭角なので正接を等しくしてよい。したがって $\frac{2 ( q - p )}{p ( 2 q - p ) + 1} = p$ である。両辺を整理すると $2 q - 2 p = 2 p^{2} q - p^{3} + p$ より $2 q (1 - p^{2}) = p (3 - p^{2})$ である。 $0 < p < 1$ なので $1 - p^{2} > 0$ であり， $q = \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )}$ を得る。なお，この式では $\frac{q}{p} = \frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} > 1$ であるから，条件 $p < q$ にも合っている。

(2)

$q = \frac{1}{3}$ を(1)の式に代入すると $\frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )} = \frac{1}{3}$ である。分母を払って $3 p (3 - p^{2}) = 2 (1 - p^{2})$ となり，整理して $3 p^{3} - 2 p^{2} - 9 p + 2 = 0$ を得る。左辺は $3 p^{3} - 2 p^{2} - 9 p + 2 = (p - 2) (3 p^{2} + 4 p - 1)$ と因数分解できる。 $0 < p < 1$ なので $p = 2$ は不適であり， $3 p^{2} + 4 p - 1 = 0$ を解く。よって $p = \frac{- 4 \pm 16 + 12}{6} = \frac{- 2 \pm 7}{3}$ であり，正で $0 < p < 1$ を満たすのは $p = \frac{7 - 2}{3}$ である。

(3)

三角形 $O A P$ は底辺 $O P = p$ ，高さ $A O = 1$ なので $S = \frac{p}{2}$ である。一方，三角形 $P M Q$ は底辺 $P Q = q - p$ ，高さが $\frac{1}{2}$ なので $T = \frac{1}{2} (q - p) \cdot \frac{1}{2} = \frac{q - p}{4}$ である。したがって $S > T$ は $\frac{p}{2} > \frac{q - p}{4}$ すなわち $3 p > q$ と同値である。

(1)の式を代入して $3 p > \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )}$ を得る。 $0 < p < 1$ より $p > 0$ かつ $2 (1 - p^{2}) > 0$ なので，不等号の向きを変えずに整理できる。両辺を $p$ で割り，さらに分母を払うと $6 (1 - p^{2}) > 3 - p^{2}$ である。よって $3 > 5 p^{2}$ となる。 $p > 0$ だから，求める範囲は $0 < p < \frac{15}{5}$ である。

点の配置と2つの等しい角は次の図で確認できる。

図は $p = 0.4$ の代表例である。式から常に $\frac{q}{p} = \frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} > 1$ となるので，導出した点の順序は問題の条件と整合する。

別解（回転ベクトルで角条件を処理）

(1)

$α = ∠ O A P$ とおく。直角三角形 $O A P$ より

tan α = p, cos α = \frac{1}{1 + p ^{2}}, sin α = \frac{p}{1 + p ^{2}} .

$M = (p /2, 1/2)$ だから， $M P$ は $(p, - 1)$ と同じ向きをもつ。これを反時計回りに $α$ だけ回転すると

(cos α sin α - sin α cos α) (p - 1) = \frac{1}{1 + p ^{2}} (2 p p^{2} - 1) .

条件 $∠ P M Q = α$ より，この方向が $M Q$ の方向である。一方，直線 $M Q$ の傾きは $- 1/ (2 q - p)$ なので

- \frac{1}{2 q - p} = \frac{p ^{2} - 1}{2 p} .

$0 < p < 1$ を用いて整理すると

2 q (1 - p^{2}) = p (3 - p^{2}), q = \frac{p ( 3 - p ^{2} )}{2 ( 1 - p ^{2} )} .

(2)

$q = 1/3$ を代入すると

3 p^{3} - 2 p^{2} - 9 p + 2 = (p - 2) (3 p^{2} + 4 p - 1) = 0.

$0 < p < 1$ より $p = (7 - 2) /3$ である。

(3)

$S = p /2, T = (q - p) /4$ だから， $S > T$ は $q < 3 p$ と同値である。(1)を代入し， $p > 0, 1 - p^{2} > 0$ に注意して整理すると

\frac{3 - p ^{2}}{2 ( 1 - p ^{2} )} < 3 ⟺ 5 p^{2} < 3.

よって $0 < p < 15 /5$ である。

東京大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（傾きと正接公式）

別解（回転ベクトルで角条件を処理）

解答

解法1（傾きと正接公式）

(1)

(2)

(3)

別解（回転ベクトルで角条件を処理）

(1)

(2)

(3)

東京大学 2024年度
文系数学第3問