東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$A(0,1)$，$P(p,0)$であるから，線分$AP$の中点$M$は $M(\frac{p}{2},\frac{1}{2})$ である。

まず，$\mathrm{\angle }OAP$を$\alpha$とおく。三角形$AOP$は$O$で直角で，$AO=1,OP=p$であるから $\tan \alpha =p$ である。

次に$\mathrm{\angle }PMQ$を傾きで表す。直線$MP$の傾きは $$\frac{0-\frac{1}{2}}{p-\frac{p}{2}}=-\frac{1}{p}$$ である。また，直線$MQ$の傾きは $$\frac{0-\frac{1}{2}}{q-\frac{p}{2}}=-\frac{1}{2q-p}$$ である。$p<q$より$2q-p>0$であり，2直線の傾きの差を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \tan \mathrm{\angle }PMQ}& {\displaystyle =\frac{(-\frac{1}{2q-p})-(-\frac{1}{p})}{1+(-\frac{1}{p})(-\frac{1}{2q-p})}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\frac{1}{p}-\frac{1}{2q-p}}{1+\frac{1}{p(2q-p)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(q-p)}{p(2q-p)+1}}\end{array}$$である。

条件(ii)より$\mathrm{\angle }OAP=\mathrm{\angle }PMQ$であり，どちらの角も鋭角なので正接を等しくしてよい。したがって $$\frac{2(q-p)}{p(2q-p)+1}=p$$ である。両辺を整理すると $2q-2p=2p^{2}q-p^3+p$ より $2q(1-p^2)=p(3-p^2)$ である。$0<p<1$なので$1-p^2>0$であり，$$q=\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$$ を得る。なお，この式では $$\frac{q}{p}=\frac{3-p^2}{2(1-p^2)}>1$$ であるから，条件$p<q$にも合っている。

(2)
$q=\frac{1}{3}$を(1)の式に代入すると $$\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}=\frac{1}{3}$$ である。分母を払って $3p(3-p^2)=2(1-p^2)$ となり，整理して $3p^3-2p^2-9p+2=0$ を得る。左辺は $$3p^3-2p^2-9p+2=(p-2)(3p^2+4p-1)$$ と因数分解できる。$0<p<1$なので$p=2$は不適であり，$3p^2+4p-1=0$ を解く。よって $$p=\frac{-4\pm \sqrt{16+12}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{7}}{3}$$ であり，正で$0<p<1$を満たすのは $$p=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$ である。

(3)
三角形$OAP$は底辺$OP=p$，高さ$AO=1$なので $$S=\frac{p}{2}$$ である。一方，三角形$PMQ$は底辺$PQ=q-p$，高さが$\frac{1}{2}$なので $$T=\frac{1}{2}(q-p)\cdot \frac{1}{2}=\frac{q-p}{4}$$ である。したがって$S>T$は $$\frac{p}{2}>\frac{q-p}{4}$$ すなわち $3p>q$ と同値である。

(1) の式を代入して $$3p>\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}$$ を得る。$0<p<1$より$p>0$かつ$2(1-p^2)>0$なので，不等号の向きを変えずに整理できる。両辺を$p$で割り，さらに分母を払うと $6(1-p^2)>3-p^2$ である。よって $3>5p^2$ となる。$p>0$だから，求める範囲は $$0<p<\frac{\sqrt{15}}{5}$$ である。

点の配置と2つの等しい角は次の図で確認できる。

図は $p=0.4$ の代表例である。式から常に ${\displaystyle \frac{q}{p}}={\displaystyle \frac{3-p^2}{2(1-p^2)}}>1$ となるので，導出した点の順序は問題の条件と整合する。

角の正接公式を展開せず，ベクトル$\overrightarrow{MP}$を$\alpha =\mathrm{\angle }OAP$だけ回転した方向が$\overrightarrow{MQ}$と一致することを使う。$\tan \alpha =p$から回転後の傾きを直接求め，$q$を決める。後半は代入と面積比較で処理する。

(1) $\alpha =\mathrm{\angle }OAP$とおく。直角三角形$OAP$より$$\tan \alpha =p,\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+p^2}},\sin \alpha =\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\mathrm{.}$$$M=(p\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$だから，$\overrightarrow{MP}$は$(p,-1)$と同じ向きをもつ。一般に、ベクトル$(x,y)$を反時計回りに$\alpha$だけ回転したベクトルの成分は、三角関数の加法定理により$$(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,x\sin \alpha +y\cos \alpha )$$である。したがって$(p,-1)$を回転したベクトルは$$(p\cos \alpha +\sin \alpha ,p\sin \alpha -\cos \alpha )=\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}(2p,p^2-1)$$となる。条件$\mathrm{\angle }PMQ=\alpha$より，この方向が$\overrightarrow{MQ}$の方向である。一方，直線$MQ$の傾きは$-1\mathrm{/}(2q-p)$なので$$-\frac{1}{2q-p}=\frac{p^2-1}{2p}\mathrm{.}$$$0<p<1$を用いて整理すると$$2q(1-p^2)=p(3-p^2),q=\frac{p(3-p^2)}{2(1-p^2)}\mathrm{.}$$(2) $q=1\mathrm{/}3$を代入すると$$3p^3-2p^2-9p+2=(p-2)(3p^2+4p-1)=0.$$$0<p<1$より$p=(\sqrt{7}-2)\mathrm{/}3$である。

(3) $S=p\mathrm{/}2,T=(q-p)\mathrm{/}4$だから，$S>T$は$q<3p$と同値である。(1)を代入し，$p>0,1-p^2>0$に注意して整理すると$$\frac{3-p^2}{2(1-p^2)}<3⟺5p^2<3.$$よって$0<p<\sqrt{15}\mathrm{/}5$である。