横浜国立大学 2015年度 前期文系数学 第1問

(1) 曲線 $D$ は$$y=(x-b{)}^3-a(x-b)$$である。交点の $x$ 座標は$$x^3-ax=(x-b{)}^3-a(x-b)$$をみたす。整理すると$$3x^2-3bx+b^2-a=0$$である。異なる2点で交わる条件はこの二次方程式が異なる2つの実数解をもつことだから，判別式より$$9b^2-12(b^2-a)>0,$$すなわち$$4a>b^2$$である。

$b=1,2,3,4,5,6$ について条件をみたす $a$ の個数は順に$$6,5,4,2,0,0$$である。したがって求める確率は$$\frac{17}{36}$$である。

(2) 2つの交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると$$\begin{gathered} x_1+x_2=b, \\ {x}_1{x}_2=\frac{b^2-a}{3} \end{gathered}$$である。曲線 $C$ 上の2点を通る直線の傾きは$$\frac{(x_1^3-a{x}_1)-(x_2^3-a{x}_2)}{x_1-x_2}=x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2-a=\frac{2(b^2-a)}{3}$$である。したがって傾きが正である条件は $b^2>a$ である。

よって必要条件は$$\frac{b^2}{4}<a<b^2$$である。$b=1,2,3,4,5,6$ についてこの条件をみたす $a$ の個数は順に$$0,2,4,2,0,0$$である。したがって求める確率は$$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$$である。

交点方程式を $x=b\mathrm{/}2$ を中心に平方完成し，2交点を $b\mathrm{/}2\pm u$ と表す。異なる2交点の条件は $u^2>0$ から直ちに得る。2点を結ぶ直線の傾きは，対称な2根の和と積から求める。最後は $b$ ごとの候補数を1つの表で監査する。

交点方程式は$$3x^2-3bx+b^2-a=0$$である。これを平方完成すると$$3{(x-\frac{b}{2})}^2=a-\frac{b^2}{4}\mathrm{.}$$(1)
異なる2実根をもつための必要十分条件は右辺が正であることだから，(2)
2根を$$x_1=\frac{b}{2}+u,x_2=\frac{b}{2}-u$$と書く。このとき$$x_1+x_2=b,x_1{x}_2=\frac{b^2-a}{3}\mathrm{.}$$曲線 $C:y=x^3-ax$ 上の2点を結ぶ直線の傾きは$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m}& {\displaystyle =x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2-a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x_1+x_2{)}^2-x_1{x}_2-a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2(b^2-a)}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $m>0$ は $a<b^2$ と同値である。

出目 $b$ ごとの候補数を整理すると次の表になる。$$\begin{array}{crrrrrrc}b& 1& 2& 3& 4& 5& 6& \text{合計}\\ 4a>b^2& 6& 5& 4& 2& 0& 0& 17\\ {\displaystyle \frac{b^2}{4}}<a<b^2& 0& 2& 4& 2& 0& 0& 8\end{array}$$全36通りは等確率なので，求める確率は$$\mathrm{<mrow><mtext>(1) </mtext><mfrac><mn\; mathvariant="bold">17</mn><mn\; mathvariant="bold">36</mn></mfrac></mrow>},\mathrm{<mrow><mtext>(2) </mtext><mfrac><mn\; mathvariant="bold">8</mn><mn\; mathvariant="bold">36</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">9</mn></mfrac></mrow>}\mathrm{.}$$