横浜国立大学 2015年度 前期文系数学 第2問

(1) $$A={\int }_0^{1}f(t)dt$$とおくと，$f(x)=6x^2-A^2$ である。両辺を $0$ から $1$ まで積分して$$A=2-A^2$$を得る。したがって $A^2+A-2=0$ より $A=1,-2$ である。よって$$f(x)=6x^2-1,f(x)=6x^2-4$$である。

(2) $$B={\int }_0^1\mathrm{\mid }g(t)\mathrm{\mid }dt(B\geqq 0)$$とおくと，$g(x)=4x^2-B^2$ である。

まず $B\geqq 2$ とすると，$0\leqq t\leqq 1$ で $4t^2-B^2\leqq 0$ だから$$B={\int }_0^1(B^2-4t^2)dt=B^2-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$したがって$$B^2-B-\frac{4}{3}=0,B=\frac{3\pm \sqrt{57}}{6}\mathrm{.}$$非負解は $$(3+\sqrt{57})\mathrm{/}6<2$$ であり，$B\geqq 2$ に反する。

次に $0\leqq B\leqq 2$ とする。このとき符号が変わる点は $t=B\mathrm{/}2$ であるから$$B={\int }_0^{B\mathrm{/}2}(B^2-4t^2)dt+{\int }_{B\mathrm{/}2}^1(4t^2-B^2)dt=\frac{4}{3}-B^2+\frac{2}{3}{B}^3\mathrm{.}$$したがって$$2B^3-3B^2-3B+4=0$$である。因数分解すると$$(B-1)(2B^2-B-4)=0$$であるから，$0\leqq B\leqq 2$ をみたす解は$$B=1,B=\frac{1+\sqrt{33}}{4}$$である。よって$$g(x)=4x^2-1,g(x)=4x^2-\frac{17+\sqrt{33}}{8}$$である。

(1) は未知の定数項を $c$ として，積分値そのものではなく $c=A^2$ の方程式を作る。(2)は $g$ の正の零点を $r$ と置き，$\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$ の積分を放物線と軸に挟まれる2つの面積として計算する。絶対積分値 $B$ の代わりに零点の位置で場合分けする解法である。

(1)
$f(x)=6x^2-c$ と書く。問題の式から $c=A^2$ ただし$$A={\int }_0^{1}f(t)dt=2-c$$である。したがって$$c=(2-c{)}^2,$$すなわち$$(c-1)(c-4)=0.$$どちらも元の関係を満たすので，である。

(2)
$g(x)=4x^2-B^2$ とし，正の零点を$$r=\frac{B}{2}(B=2r)$$とおく。

まず $r\geqq 1$ なら，$0\leqq t\leqq 1$ で $g(t)\leqq 0$ である。よって$$2r={\int }_0^1(4r^2-4t^2)dt=4r^2-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$これは$$6r^2-3r-2=0$$を与えるが，その正の解は$$r=\frac{3+\sqrt{57}}{12}<1$$であり矛盾する。

したがって $0\leqq r\leqq 1$ である。$t=r$ の左右に分け，放物線と $t$ 軸で挟まれる面積を加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2r}& {\displaystyle =4{\int }_0^r(r^2-t^2)dt+4{\int }_r^1(t^2-r^2)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}-4r^2+\frac{16}{3}{r}^3\mathrm{.}}\end{array}$$整理すると$$(2r-1)(4r^2-r-2)=0.$$区間 $[0,1]$ にある解は$$r=\frac{1}{2},r=\frac{1+\sqrt{33}}{8}\mathrm{.}$$したがって $B^2=4r^2$ は$$1,\frac{17+\sqrt{33}}{8}$$である。ゆえにを得る。