横浜国立大学 2017年度 前期 確率・場合の数理系数学 第3問

(1)
$A,B,C,D,E,F$ を順に $0,1,2,3,4,5$ に対応させる。4回の出目を $k_1,k_2,k_3,k_4$ とし、$S_j=k_1+\cdots +k_j$ とする。このとき $S_j\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ となる回に $A$ が得点する。

$A$ の持ち点が $0$ 点であるためには、4回すべてで $S_j\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$ であればよい。各回、現在の余りが $0$ でないようにする出目は5通りであるから、有利な出目列は$$5^4=625$$通りである。全体は $6^4$ 通りなので、求める確率は$$\frac{625}{1296}$$である。

(2)
$A$ の得点が $5$ 点になる場合を数える。$A$ が1回だけ得点し、その得点が $5$ 点である場合を考える。得点する回は第2回、第3回、第4回のいずれかであり、それぞれ25通りである。したがってこの場合は$$75$$通りである。

次に $A$ が2回得点する場合、2回の得点の和が $5$ でなければならない。得点回は第2回と第4回に限られ、得点の組は$$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$$の4通りである。3回以上得点して合計 $5$ 点になることはない。よって有利な出目列は$$75+4=79$$通りである。したがって求める確率は$$\frac{79}{1296}$$である。

(3)
(2)で数えた $79$ 通りのうち、$E$ が $3$ 点を得るには、ある回で出目が $3$ で、かつその回の累積和が $4$ に合同でなければならない。

(2) の分類に従って確認すると、この条件をみたす出目列は$$(1,5,1,3),(1,3,3,5)$$の2通りである。したがって条件付き確率は$$\frac{2}{79}$$である。

累積位置とA・Eの得点を状態にした動的計画法で4回の遷移を数える。各出目1〜6を状態へ加え，最終状態の個数を集計する。

人を時計回りに $A=0,B=1,\dots ,F=5$ と番号づける。$j$ 回後の位置，Aの得点，Eの得点を $(r,p,q)$ とし，その出目列の個数を $N_j(r,p,q)$ とする。初期値は$$N_0(0,0,0)=1.$$出目 $k=1,\dots ,6$ に対し$$r^{\mathrm{\prime }}\equiv r+k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)$$とし，$r^{\mathrm{\prime }}=0$ なら $p$ に $k$，$r^{\mathrm{\prime }}=4$ なら $q$ に $k$ を加える。この遷移を4回行う。

(1) $p=0$ の状態の個数を合計すると$$625$$通りである。全体は $6^4=1296$ 通りなので$$\frac{625}{1296}\mathrm{.}$$(2) $p=5$ の状態の個数を合計すると$$79$$通りである。したがって$$\frac{79}{1296}\mathrm{.}$$(3) $p=5,q=3$ となるのは$$(1,5,1,3),(1,3,3,5)$$の2列である。条件付き確率は$$\frac{2}{79}\mathrm{.}$$