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横浜国立大学 2015年度 前期文系数学 第3問

点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり，2OA→+3OB→+4OC→=0⃗をみたしている．この円上に点 P があり，線分 AB と線分 CP は直交している．次の問いに答えよ．

(1) 内積 OA→⋅OB→ と ∣AB→∣ をそれぞれ求めよ．

(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，AH:HB を求めよ．

(3) 四角形 APBC の面積を求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安25分

ベクトル　内積の利用、ベクトル成分計算、座標設定、計算整理

方針

(1) 与えられたベクトル関係を2乗して OA→⋅OB→ を出す。(2) は H=A+s(B−A) とおき，CP⊥AB から (H−C)⋅(B−A)=0 を使う。(3) は AB を対角線と見て，三角形 ABC と ABP の面積を高さ CH,PH から足し合わせる。

解答

(1) OA→=a⃗,OB→=b⃗,OC→=c⃗ とおく。∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=1 であり，2a⃗+3b⃗=−4c⃗である。両辺の長さの2乗を比べると4+9+12a⃗⋅b⃗=16よりa⃗⋅b⃗=14である。したがって∣AB→∣2=∣b⃗−a⃗∣2=2−2⋅14=32より∣AB→∣=62である。

(2) まず与式と a⃗,b⃗ との内積をとるとa⃗⋅c⃗=−1116,b⃗⋅c⃗=−78である。H=A+s(B−A) とおくと，AH:HB=s:(1−s) である。CP⊥AB より(OH→−c⃗)⋅(b⃗−a⃗)=0である。ここで OH→=a⃗+s(b⃗−a⃗) だから−34+32s+316=0となり，s=38 を得る。よってAH:HB=3:5である。

(3) (2) よりOH→=58a⃗+38b⃗である。計算すると∣OH→∣2=83128,OH→⋅c⃗=−97128であるからCH2=∣OH→−c⃗∣2=405128となり，CH=91016 である。

直線 CP と円の交点は C,P であり，H はその弦上の点である。直線上の交点の符号付き距離を考えると，CH⋅PH=1−∣OH→∣2=45128 だからPH=1016である。したがってCP=CH+PH=5108である。四角形 APBC の面積は，対角線 AB を底辺とする三角形 ABC と ABP の面積の和だから12⋅AB⋅CP=12⋅62⋅5108=51516である。

別解

解法2

方針

円を単位円として座標化し，A,B が x 軸について対称になるように回転して置く。(1)で得る内積から A,B の座標を決め，与えられたベクトル関係から C を求める。CP⊥AB により CP は水平な弦となるので，P,H の座標，内分比，面積が一度に読める。

解答

(1)
座標軸を回転してA=(c,s),B=(c,−s)(c>0, s>0)と置く。A,B は単位円上にあるので c2+s2=1 である。また与式から∣2OA→+3OB→∣2=∣−4OC→∣2=16だから，13+12OA→⋅OB→=16.よってOA→⋅OB→=c2−s2=14.c2+s2=1 と合わせてc=104,s=64.したがってOA→⋅OB→=14,AB=2s=62.(2)
与えられたベクトル関係からC=−2A+3B4=(−5c4,s4).AB は鉛直線なので，CP⊥AB より CP は水平である。単位円と直線 y=s/4 の交点はC=(−5c4,s4),P=(5c4,s4)である。したがってH=AB∩CP=(c,s4).鉛直方向の長さを比べるとAH=s−s4=3s4,HB=s4+s=5s4.ゆえにAH:HB=3:5.(3)
図よりCP=5c4−(−5c4)=5c2=5108.四角形 APBC は対角線 AB によって2つの三角形に分かれ，それらの高さの和が CP である。したがって面積は12 AB⋅CP=12⋅62⋅5108=51516.

総評

難度6，計算量6。想定時間は25分程度。内積と点の冪で進めるベクトル解法に加え，A,B を対称に置いて全点を座標化する解法を収録した。採点点は，与えられたベクトル関係を長さの2乗へ移して OA→⋅OB→=1/4 を得ること，H を線分 AB 上に正しく置くこと，最後に対角線 AB に対する2つの高さの和が CP になると説明することである。座標解法では弦 CP と交点 H の配置を図示し，長さと面積の対応を見える形にした。

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出典: 横浜国立大学 2015年度 前期 数学 文系第3問・理系第2問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。