横浜国立大学 2018年度文系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に放物線 $C_{1} : y = x^{2}$ と点 $P (p, q) (q > p^{2})$ があり、 $P$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。さらに、 $C_{1}$ と $l$ との2つの交点を結ぶ線分の中点において、放物線 $C_{2} : y = - x^{2} + a x + b$ が $l$ と接している。次の問いに答えよ。

(1) $a, b$ を求めよ。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれる領域の面積を求めよ。

(3) $t$ が実数全体を動くとき、(2)で求めた面積の最小値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2018年度前期文系第3問

方針

解法1

直線 $l$ と $C_{1}$ の交点の $x$ 座標を2次方程式の解として扱い、中点の座標を解と係数の関係で出す。その中点で $C_{2}$ が $l$ に接することから $a, b$ を決め、面積は2つの放物線の差を平方完成して積分する。

解法2

弦の中点の $x$ 座標を $m = t /2$ とし、その点を原点とする局所座標で $C_{2}$ を直接書く。2曲線の縦の差は左右対称な $h - 2 u^{2}$ になるので、標準形へ拡大縮小して面積を求める。

解答

解法1

(1)

直線 $l$ は

y = t (x - p) + q

である。 $C_{1}$ との交点の $x$ 座標は

x^{2} - t x + tp - q = 0

の2解であるから、その和は $t$ である。したがって2交点を結ぶ線分の中点の $x$ 座標は $t /2$ であり、その $y$ 座標は直線 $l$ 上で

t (\frac{t}{2} - p) + q = \frac{t ^{2}}{2} - pt + q

である。

$C_{2} : y = - x^{2} + a x + b$ の接線の傾きは $- 2 x + a$ である。 $x = t /2$ で傾きが $t$ だから

- t + a = t

より $a = 2 t$ である。また中点を通るので

\frac{t ^{2}}{2} - pt + q = - \frac{t ^{2}}{4} + \frac{a t}{2} + b

であり、 $a = 2 t$ を代入して

b = q - pt - \frac{t ^{2}}{4}

を得る。

(2)

$C_{2} - C_{1}$ は

- 2 x^{2} + 2 t x + q - pt - \frac{t ^{2}}{4} = - 2 (x - \frac{t}{2})^{2} + h

ただし

h = q - pt + \frac{t ^{2}}{4} = (\frac{t}{2} - p)^{2} + q - p^{2} > 0

である。よって囲まれる部分の面積は

\int_{- h /2}^{h /2} (h - 2 u^{2}) d u = \frac{2 2}{3} h^{3/2}

である。したがって

\frac{2 2}{3} (q - pt + \frac{t ^{2}}{4})^{3/2}

である。

(3)

q - pt + \frac{t ^{2}}{4} = (\frac{t}{2} - p)^{2} + q - p^{2}

であるから、最小値は $t = 2 p$ のときにとり、 $q - p^{2}$ である。よって面積の最小値は

\frac{2 2}{3} (q - p^{2})^{3/2}

である。

解法2

(1)

直線 $l$ と $C_{1}$ の交点の $x$ 座標を $r_{1}, r_{2}$ とすると

x^{2} - t x + tp - q = 0

の2解だから

m = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} = \frac{t}{2} .

中点 $M$ の $y$ 座標は

y_{M} = t (m - p) + q = \frac{t ^{2}}{2} - pt + q .

頂点型を利用し、 $x = m$ で点 $M$ を通り傾き $t$ をもつ下向きの放物線を

y = - (x - m)^{2} + t (x - m) + y_{M}

と書ける。 $m = t /2$ を代入して展開すると

y = - x^{2} + 2 t x + q - pt - \frac{t ^{2}}{4} .

よって

a = 2 t, b = q - pt - \frac{t ^{2}}{4} .

(2)

$u = x - t /2$ とおき

h = q - pt + \frac{t ^{2}}{4} = (\frac{t}{2} - p)^{2} + q - p^{2} > 0

とすると、2曲線の縦の差は

C_{2} - C_{1} = h - 2 u^{2} .

交点は $u = \pm h /2$ である。さらに

u = \frac{h}{2} v

と変数変換すれば、面積は

S = h \frac{h}{2} \int_{- 1}^{1} (1 - v^{2}) d v = h \frac{h}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 2}{3} h^{3/2} .

したがって

S = \frac{2 2}{3} (q - pt + \frac{t ^{2}}{4})^{3/2} .

(3)

h = (\frac{t}{2} - p)^{2} + q - p^{2}

は $t = 2 p$ のとき最小値 $q - p^{2}$ をとる。 $S$ は $h > 0$ の増加関数だから

S_{m i n} = \frac{2 2}{3} (q - p^{2})^{3/2} .

横浜国立大学 2018年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2018年度
文系数学第3問