横浜国立大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 0でない実数 $a$ に対して、定積分

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{a t} cos (2 t) d t, J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{a t} sin (2 t) d t

を $a$ の式で表せ。

(2) $x y$ 平面において、曲線

C : x = e^{- 2 t} cos t, y = e^{- t} sin t (0 ≦ t ≦ \frac{π}{2})

と、 $x$ 軸と、 $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期理系第1問

(1)は $I, J$ を別々に積分し切ろうとせず、部分積分による2本の関係式を作って連立する。(2)は曲線が第1象限を $x$ の減少方向に進むことを確認し、面積を $- \int y d x$ と表す。倍角公式で (1) の $a = - 3$ に帰着させる。

(1)は $e^{a t} (α cos 2 t + β sin 2 t)$ を微分して係数を合わせ、原始関数を直接作る。(2)は座標軸上の線分では $x d y = 0$ であることを用い、面積を曲線上の $\int x d y$ として計算する。解法1とは異なる面積表示で符号も確認する。

部分積分により

I = [\frac{1}{2} e^{a t} sin 2 t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{a}{2} J = - \frac{a}{2} J .

また

J = [- \frac{1}{2} e^{a t} cos 2 t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{a}{2} I = \frac{e ^{\frac{aπ}{2}} + 1}{2} + \frac{a}{2} I .

連立して

I = - \frac{a ( e ^{\frac{aπ}{2}} + 1 )}{a ^{2} + 4}, J = \frac{2 ( e ^{\frac{aπ}{2}} + 1 )}{a ^{2} + 4} .

曲線は $(1, 0)$ から $(0, e^{- π /2})$ へ進み、

\frac{d x}{d t} = e^{- 2 t} (- 2 cos t - sin t) < 0.

よって

S = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} y \frac{d x}{d t} d t .

したがって

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} (2 sin t cos t + sin^{2} t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} sin 2 t d t + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} cos 2 t d t .

(1)へ $a = - 3$ を代入すると

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} sin 2 t d t = \frac{2 ( 1 + e ^{- \frac{3 π}{2}} )}{13},

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} cos 2 t d t = \frac{3 ( 1 + e ^{- \frac{3 π}{2}} )}{13} .

また

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} d t = \frac{1 - e ^{- \frac{3 π}{2}}}{3} .

以上より

S = \frac{8 - 5 e ^{- \frac{3 π}{2}}}{39} .

微分して確かめると

\int e^{a t} cos 2 t d t = \frac{e ^{a t} ( a cos 2 t + 2 sin 2 t )}{a ^{2} + 4},

\int e^{a t} sin 2 t d t = \frac{e ^{a t} ( a sin 2 t - 2 cos 2 t )}{a ^{2} + 4} .

端点 $0, π /2$ を代入して

I = - \frac{a ( e ^{\frac{aπ}{2}} + 1 )}{a ^{2} + 4}, J = \frac{2 ( e ^{\frac{aπ}{2}} + 1 )}{a ^{2} + 4} .

囲まれた領域と曲線の概形は次の通りである。

正の向きに境界を一周すると、座標軸上の部分は $x d y = 0$ なので

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \frac{d y}{d t} d t .

ここで

\frac{d y}{d t} = e^{- t} (cos t - sin t)

より

S = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} (cos^{2} t - sin t cos t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} d t + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} cos 2 t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 t} sin 2 t d t .

(1)の $a = - 3$ の値を代入して整理すると

S = \frac{8 - 5 e ^{- \frac{3 π}{2}}}{39} .