横浜国立大学 2022年度 前期理系数学 第1問

(1)
部分積分により$$I={[\frac{1}{2}{e}^{at}\sin 2t]}_0^{\frac{\pi }{2}}-\frac{a}{2}J=-\frac{a}{2}J\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J}& {\displaystyle ={[-\frac{1}{2}{e}^{at}\cos 2t]}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{a}{2}I}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{e^{\frac{a\pi }{2}}+1}{2}+\frac{a}{2}I\mathrm{.}}\end{array}$$連立して$$I=-\frac{a(e^{\frac{a\pi }{2}}+1)}{a^2+4},J=\frac{2(e^{\frac{a\pi }{2}}+1)}{a^2+4}\mathrm{.}$$(2)
曲線は $(1,0)$ から $(0,e^{-\pi \mathrm{/}2})$ へ進み、$$\frac{dx}{dt}=e^{-2t}(-2\cos t-\sin t)<0.$$よって$$S=-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}y\frac{dx}{dt}dt\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}(2\sin t\cos t+{\sin }^{2}t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}\sin 2tdt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}dt-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}\cos 2tdt\mathrm{.}}\end{array}$$(1)へ $a=-3$ を代入すると$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}\sin 2tdt=\frac{2(1+e^{-\frac{3\pi }{2}})}{13},$$$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}\cos 2tdt=\frac{3(1+e^{-\frac{3\pi }{2}})}{13}\mathrm{.}$$また$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}dt=\frac{1-e^{-\frac{3\pi }{2}}}{3}\mathrm{.}$$以上より$$S=\frac{8-5e^{-\frac{3\pi }{2}}}{39}\mathrm{.}$$

(1) は $e^{at}(\alpha \cos 2t+\beta \sin 2t)$ を微分して係数を合わせ、
原始関数を直接作る。(2)は座標軸上の線分では $xdy=0$ であることを用い、
面積を曲線上の $\int xdy$ として計算する。解法1とは異なる面積表示で符号も確認する。

(1)
微分して確かめると$$\int e^{at}\cos 2tdt=\frac{e^{at}(a\cos 2t+2\sin 2t)}{a^2+4},$$$$\int e^{at}\sin 2tdt=\frac{e^{at}(a\sin 2t-2\cos 2t)}{a^2+4}\mathrm{.}$$端点 $0,\pi \mathrm{/}2$ を代入して$$I=-\frac{a(e^{\frac{a\pi }{2}}+1)}{a^2+4},J=\frac{2(e^{\frac{a\pi }{2}}+1)}{a^2+4}\mathrm{.}$$(2)
囲まれた領域と曲線の概形は次の通りである。

正の向きに境界を一周すると、座標軸上の部分は $xdy=0$ なので$$S={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\frac{dy}{dt}dt\mathrm{.}$$ここで$$\frac{dy}{dt}=e^{-t}(\cos t-\sin t)$$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}({\cos }^{2}t-\sin t\cos t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}dt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}\cos 2tdt-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-3t}\sin 2tdt\mathrm{.}}\end{array}$$(1)の $a=-3$ の値を代入して整理すると$$S=\frac{8-5e^{-\frac{3\pi }{2}}}{39}\mathrm{.}$$