横浜国立大学 2022年度 前期理系数学 第2問

(1)
$x_4=0$ となるにはLとRが2回ずつ必要である。
そのうち途中で正にならないものは$$\mathrm{L}\mathrm{L}\mathrm{R}\mathrm{R},\mathrm{L}\mathrm{R}\mathrm{L}\mathrm{R}$$だから$$2\text{通り}\mathrm{.}$$(2)
$A_k(j)$ を、時刻 $k$ まで常に
$-2\leqq x\leqq 3$ を保ち、$x_k=j$ となる通り数とする。
区間外を0と約束すれば$$A_{k+1}(j)=A_k(j-1)+A_k(j+1),A_0(0)=1.$$更新表は次の通りである。$$\begin{array}{crrrrrr}k\mathrm{\backslash }j& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 2& 1& 0& 2& 0& 1& 0\\ 3& 0& 3& 0& 3& 0& 1\\ 4& 3& 0& 6& 0& 4& 0\\ 5& 0& 9& 0& 10& 0& 4\\ 6& 9& 0& 19& 0& 14& 0\\ 7& 0& 28& 0& 33& 0& 14\\ 8& 28& 0& 61& 0& 47& 0\end{array}$$よって$$28+61+47=136\text{通り}\mathrm{.}$$(3)
同じ更新により、全時刻で $[-1,3]$、$[-2,0]$、$[-1,0]$
にとどまる8歩の総数は、それぞれ $81,16,1$ と得られる。
$m=-2,M\leqq 3$ は、$[-2,3]$ にとどまるものから
$-2$ に一度も達しないものを引けばよい。したがって$$136-81=55\text{通り}\mathrm{.}$$(4)
(3)の55通りから $M\leqq 0$ のものを除く。
$-2\leqq x\leqq 0$ にとどまり、かつ $-2$ に到達するものは$$16-1=15$$通りである。よって$$55-15=40\text{通り}\mathrm{.}$$

(2) は全 $2^8$ 通りから、下側の境界 $-3$ または上側の境界 $4$
に到達する経路を反射法で引く。(3)では下側境界を $-2$ に変えた数も同様に求める。
幅2以下の区間にとどまる経路は、偶数回目の選択または強制交互移動として直接数える。

(1)
4歩で原点へ戻り、途中で正にならない列は$$\mathrm{L}\mathrm{L}\mathrm{R}\mathrm{R},\mathrm{L}\mathrm{R}\mathrm{L}\mathrm{R}$$のみである。よって$$2\text{通り}\mathrm{.}$$(2)
全経路は $2^8=256$ 通りである。
$-3$ に達する経路を、初めて $-3$ に達したところで反射して数えると74通り、
$4$ に達する経路は46通りとなる。具体的には$$74=\{1+8+28\}+\{28+8+1\},$$$$46=\{28+8+1\}+8+1.$$8歩以内に $-3$ と $4$ の両方へ達することはできない。
したがって$$256-74-46=136\text{通り}\mathrm{.}$$(3)
$[-1,3]$ にとどまる経路を数える。
$-2$ に達する経路は、同じ反射法で$$\{1+8+28+56\}+\{28+8+1\}=130$$通りである。$4$ に達するものは46通りであり、両方へ達するものは
$\mathrm{L}\mathrm{L}\mathrm{R}\mathrm{R}\mathrm{R}\mathrm{R}\mathrm{R}\mathrm{R}$ の1通りだけである。よって$$\mathrm{\#}\{[-1,3]\text{ にとどまる}\}=256-130-46+1=81.$$したがって $-2$ に到達し、かつ $3$ を超えないものは$$136-81=55\text{通り}\mathrm{.}$$(4)
$[-2,0]$ では奇数回後の位置は必ず $-1$ である。
2,4,6,8回目には $-2$ と0のどちらへ行くかを選べるので$$2^4=16$$通り。$[-1,0]$ では移動がLRLR$\cdots$と一意なので1通りである。
よって $m=-2,M\leqq 0$ は15通りであり、$$55-15=40\text{通り}\mathrm{.}$$