横浜国立大学 2022年度理系数学第3問解答・解説

問題

$z \neq = 1$ をみたす複素数 $z$ に対して、複素数 $w$ を

w = \frac{2 z - 3}{z - 1}

と定める。 $r > 1$ をみたす実数 $r$ に対して、 $z$ が $∣ z ∣ ≧ r$ の範囲を動くとき、 $w$ がとる値の範囲を $D_{r}$ と表す。次の問いに答えよ。

(1) $r = \frac{3}{2}$ のとき、 $D_{r}$ を複素数平面に図示せよ。

(2) $E_{r}$ を $D_{r}$ と実軸の共通部分とする。整数を表す点のうち、 $E_{r}$ に含まれる点の個数を $N_{r}$ とおく。 $N_{r} = 3$ となる $r$ の範囲を求めよ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期理系第3問

方針

解法1（逆変換して円の方程式を作る方法）

$w$ から $z$ を解き、 $∣ z ∣ ≧ r$ を $∣ w - 3∣ ≧ r ∣ w - 2∣$ に移す。実部・虚部を置いて平方完成すれば $D_{r}$ は円板になる。ただし $w = 2$ は有限な $z$ から得られないので除く。実軸上の区間端点を簡単な形に直し、含まれる整数を判定する。

解法2（Apolloniusの円と実軸上の交点を使う方法）

逆変換から得る $∣ w - 3∣ : ∣ w - 2∣ ≧ r : 1$ を、実軸上の2点 $3, 2$ に対する距離比として読む。境界はApolloniusの円であり、実軸との2交点を方程式 $∣ x - 3∣ = r ∣ x - 2∣$ から直接求める。中心・半径や整数個数を平方完成なしで決定する。

解答

解法1（逆変換して円の方程式を作る方法）

(1)

w = \frac{2 z - 3}{z - 1}

を $z$ について解くと

z = \frac{w - 3}{w - 2} .

ただし $w = 2$ は元の式で実現しない。したがって

∣ z ∣ ≧ r ⟺ ∣ w - 3∣ ≧ r ∣ w - 2∣.

$w = x + y i$ とおいて平方完成すると

(x - \frac{2 r ^{2} - 3}{r ^{2} - 1})^{2} + y^{2} ≦ (\frac{r}{r ^{2} - 1})^{2} .

$r = 3/2$ では中心と半径がともに $6/5$ である。よって $D_{3/2}$ は次の円板から点 $2$ を除いた集合である。

(2)

円板と実軸の共通部分は

2 - \frac{1}{r - 1} ≦ x ≦ 2 + \frac{1}{r + 1}

から点 $2$ を除いたものである。 $r > 1$ では右端は $2$ より大きく $5/2$ より小さいため、 $2$ より大きい整数は入らず、整数 $2$ 自身は除外される。

$N_{r} = 3$ となるには、含まれる整数がちょうど $- 1, 0, 1$ となればよい。したがって

- 2 < 2 - \frac{1}{r - 1} ≦ - 1.

$r - 1 > 0$ に注意して解くと

\frac{1}{4} < r - 1 ≦ \frac{1}{3} .

よって

\frac{5}{4} < r ≦ \frac{4}{3} .

解法2（Apolloniusの円と実軸上の交点を使う方法）

(1)

$w = 2$ を除き

∣ z ∣ ≧ r ⟺ ∣ w - 3∣ ≧ r ∣ w - 2∣.

$r = 3/2$ の境界と実軸の交点は

∣ x - 3∣ = \frac{3}{2} ∣ x - 2∣

の解であり、

x = 0, x = \frac{12}{5} .

境界円の中心は実軸上にあるので、中心は両交点の中点 $6/5$ 、半径も $6/5$ である。中心 $w = 6/5$ は不等式を満たすため、求める側は円の内部である。したがって

D_{3/2} = {w : w - \frac{6}{5} ≦ \frac{6}{5}} ∖ {2} .

(2)

一般の $r > 1$ について実軸上の境界点は

x - 3 = \pm r (x - 2)

から

L = 2 - \frac{1}{r - 1}, U = 2 + \frac{1}{r + 1} .

よって

E_{r} = [L, U] ∖ {2} .

$2 < U < 5/2$ なので、 $N_{r} = 3$ のときの整数は $- 1, 0, 1$ に限られる。これらを含み $- 2$ を含まない条件は

- 2 < L ≦ - 1.

$L = 2 - 1/ (r - 1)$ を代入して

\frac{1}{4} < r - 1 ≦ \frac{1}{3},

したがって

\frac{5}{4} < r ≦ \frac{4}{3} .

横浜国立大学 2022年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1（逆変換して円の方程式を作る方法）

解法2（Apolloniusの円と実軸上の交点を使う方法）

解答

解法1（逆変換して円の方程式を作る方法）

(1)

(2)

解法2（Apolloniusの円と実軸上の交点を使う方法）

(1)

(2)

横浜国立大学 2022年度
理系数学第3問