横浜国立大学 2022年度 前期 ベクトル・微分理系数学 第3問

(1) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$とおく。各点の位置ベクトルは$$\overrightarrow{OP}=s\vec{a},\overrightarrow{OQ}=t\vec{b},\overrightarrow{OR}=(1-u)\vec{b}+u\vec{c}\mathrm{.}$$また$$\overrightarrow{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3},\overrightarrow{OH}=\frac{s\vec{a}+(t+1-u)\vec{b}+u\vec{c}}{3}\mathrm{.}$$$O,G,H$ が同一直線上にあり、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は一次独立だから$$s=t+1-u=u\mathrm{.}$$よって$$s=u=\frac{t+1}{2}\mathrm{.}$$各点は辺を内分するので $0<t<1$ である。したがって$$\frac{1}{2}<s<1\mathrm{.}$$(2)
正四面体の1辺が1なので$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$s=u=(t+1)\mathrm{/}2$ を代入して計算すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }s\vec{a}-t\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{3t^2+1}{4},$$$$\overrightarrow{QR}=\frac{1-3t}{2}\vec{b}+\frac{t+1}{2}\vec{c}$$より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{QR}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{7t^2-6t+3}{4}\mathrm{.}$$さらに$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{QR}=\frac{1-t^2}{4}\mathrm{.}$$(3)
同じ内積表を使うと$$\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}=\frac{4t^2-3t+1}{4}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^2}& {\displaystyle =\frac{1}{4}(\mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{QR}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}{)}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5t^4+6t^3-t^2+2}{64}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S=\frac{1}{8}\sqrt{5t^4+6t^3-t^2+2}\mathrm{.}$$根号内を $F(t)$ とおくと$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=20t^3+18t^2-2t=2t(10t-1)(t+1)\mathrm{.}$$$0<t<1$ で $F$ は $0<t<1\mathrm{/}10$ で減少し、
$1\mathrm{/}10<t<1$ で増加する。したがって$$S\text{ が最小となるのは }t=\frac{1}{10}\mathrm{.}$$

重心条件は基底 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数比較で処理する。
(2)の指定量に加え、三角形 $PQR$ の第3辺 $PR$ も計算する。
面積は2辺の内積ではなく、3辺の長さだけを使う
$16S^2=2(XY+YZ+ZX)-X^2-Y^2-Z^2$ に代入して求める。

(1) $$3\overrightarrow{OH}=s\vec{a}+(t+1-u)\vec{b}+u\vec{c}$$が $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と平行である。
$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は一次独立だから3係数は等しく、$$s=t+1-u=u\mathrm{.}$$よって$$s=u=\frac{t+1}{2},\frac{1}{2}<s<1\mathrm{.}$$(2)$$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$を展開に用いる。すると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{3t^2+1}{4},\mathrm{\mid }\overrightarrow{QR}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{7t^2-6t+3}{4},$$$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{QR}=\frac{1-t^2}{4}\mathrm{.}$$(3)
さらに$$\overrightarrow{PR}=-s\vec{a}+(1-s)\vec{b}+s\vec{c}$$だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PR}{\mathrm{\mid }}^2=s^2+(1-s{)}^2=\frac{t^2+1}{2}\mathrm{.}$$$$X=P{Q}^2,Y=Q{R}^2,Z=R{P}^2$$ とおくと、三辺と面積の恒等式$$16S^2=2(XY+YZ+ZX)-X^2-Y^2-Z^2$$より$$16S^2=\frac{5t^4+6t^3-t^2+2}{4}\mathrm{.}$$したがって$$S=\frac{1}{8}\sqrt{5t^4+6t^3-t^2+2}\mathrm{.}$$根号内の微分は$$2t(10t-1)(t+1)$$であるから、$0<t<1$ での唯一の極小点は$$t=\frac{1}{10}$$である。