横浜国立大学 2023年度 前期理系数学 第1問

(1)
交点では$(\cos x{)}^n=(\sin x{)}^n$である。$$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$では$\sin x,\cos x$はともに0以上で、$n$は正の整数であるから、これは$\cos x=\sin x$と同値である。よって交点は$$(\frac{\pi }{4},2^{-\frac{n}{2}})$$である。

(2) $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$では$\cos x\geqq \sin x$であるから、求める面積は$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)dx$$である。${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=\cos 2x$より$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2xdx=\frac{1}{2}$$である。

(3)
求める面積は$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}({\cos }^{8}x-{\sin }^{8}x)dx$$である。ここで$${\cos }^{8}x-{\sin }^{8}x=\cos 2x(1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x)$$である。$u=\sin 2x$とおくと$du=2\cos 2xdx$であり、$x=0$から$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$までで$u$は0から1まで動く。したがって$$\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-\frac{1}{2}{u}^2)du=\frac{5}{12}$$である。

面積を $D_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}({\cos }^{n}x-{\sin }^{n}x)dx$ とおく。部分積分から $D_n$ と $D_{n-2}$ の関係を作り、$n=4,8$ を順に計算する。

(1)
区間内では $\sin x,\cos x\geqq 0$ だから、交点条件は $\sin x=\cos x$ と同値である。よって$$(\frac{\pi }{4},2^{-n\mathrm{/}2})$$である。

(2) (3)$$C_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\cos }^{n}xdx,T_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\sin }^{n}xdx,D_n=C_n-T_n$$とおく。部分積分により$$C_n=\frac{2^{-n\mathrm{/}2}}{n}+\frac{n-1}{n}{C}_{n-2},T_n=-\frac{2^{-n\mathrm{/}2}}{n}+\frac{n-1}{n}{T}_{n-2}\mathrm{.}$$したがって$$D_n=\frac{2^{1-n\mathrm{/}2}}{n}+\frac{n-1}{n}{D}_{n-2}\mathrm{.}$$$D_2={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\cos 2xdx=1\mathrm{/}2$ なので$$D_4=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$また$$D_6=\frac{1}{24}+\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{11}{24},$$$$D_8=\frac{1}{64}+\frac{7}{8}\cdot \frac{11}{24}=\frac{5}{12}\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}4$ では ${\cos }^{n}x\geqq {\sin }^{n}x$ だから、これらがそのまま求める面積である。