横浜国立大学 2023年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。 $x y$ 平面において、以下の2つの曲線 $C_{1}, C_{2}$ を考える。

C_{1} : y = (cos x)^{n} (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}), C_{2} : y = (sin x)^{n} (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

次の問いに答えよ。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の座標を求めよ。

(2) $n = 4$ のとき、 $C_{1}, C_{2}$ と $y$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

(3) $n = 8$ のとき、 $C_{1}, C_{2}$ と $y$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

出典：横浜国立大学 2023年度前期理系第1問

方針

解法1

交点は $0 ≦ x ≦ π /2$ で $sin x, cos x$ が非負であることから求める。面積は $0 ≦ x ≦ π /4$ で $(cos x)^{n} ≧ (sin x)^{n}$ となることを使い、差を積分する。 $n = 8$ では $cos^{8} x - sin^{8} x$ を $cos 2 x$ と $sin 2 x$ で整理する。

解法2（定積分の漸化式を使う方法）

面積を $D_{n} = \int_{0}^{π /4} (cos^{n} x - sin^{n} x) d x$ とおく。部分積分から $D_{n}$ と $D_{n - 2}$ の関係を作り、 $n = 4, 8$ を順に計算する。

解答

解法1

(1)

交点では $(cos x)^{n} = (sin x)^{n}$ である。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ では $sin x, cos x$ はともに0以上で、 $n$ は正の整数であるから、これは $cos x = sin x$ と同値である。よって交点は

(\frac{π}{4}, 2^{- \frac{n}{2}})

である。

(2)

$0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ では $cos x ≧ sin x$ であるから、求める面積は

\int_{0}^{\frac{π}{4}} (cos^{4} x - sin^{4} x) d x

である。 $cos^{4} x - sin^{4} x = cos 2 x$ より

\int_{0}^{\frac{π}{4}} cos 2 x d x = \frac{1}{2}

である。

(3)

求める面積は

\int_{0}^{\frac{π}{4}} (cos^{8} x - sin^{8} x) d x

である。ここで

cos^{8} x - sin^{8} x = cos 2 x (1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x)

である。 $u = sin 2 x$ とおくと $d u = 2 cos 2 x d x$ であり、 $x = 0$ から $x = \frac{π}{4}$ までで $u$ は0から1まで動く。したがって

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{2} u^{2}) d u = \frac{5}{12}

である。

解法2（定積分の漸化式を使う方法）

(1)

区間内では $sin x, cos x ≧ 0$ だから、交点条件は $sin x = cos x$ と同値である。よって

(\frac{π}{4}, 2^{- n /2})

である。

(2)(3)

C_{n} = \int_{0}^{π /4} cos^{n} x d x, T_{n} = \int_{0}^{π /4} sin^{n} x d x, D_{n} = C_{n} - T_{n}

とおく。部分積分により

C_{n} = \frac{2 ^{- n /2}}{n} + \frac{n - 1}{n} C_{n - 2}, T_{n} = - \frac{2 ^{- n /2}}{n} + \frac{n - 1}{n} T_{n - 2} .

したがって

D_{n} = \frac{2 ^{1 - n /2}}{n} + \frac{n - 1}{n} D_{n - 2} .

$D_{2} = \int_{0}^{π /4} cos 2 x d x = 1/2$ なので

D_{4} = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .

また

D_{6} = \frac{1}{24} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{24},

D_{8} = \frac{1}{64} + \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{24} = \frac{5}{12} .

$0 ≦ x ≦ π /4$ では $cos^{n} x ≧ sin^{n} x$ だから、これらがそのまま求める面積である。

横浜国立大学 2023年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（定積分の漸化式を使う方法）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（定積分の漸化式を使う方法）

(1)

(2)(3)

横浜国立大学 2023年度
理系数学第1問