横浜国立大学 2023年度 前期理系数学 第3問

(1) $$\gamma -\alpha =v(\beta -\alpha )$$である。正三角形では、$\overrightarrow{AB}$を$\overrightarrow{AC}$に移すには、長さを変えずに${60}^{\circ }$または$-{60}^{\circ }$回転すればよい。したがって$$v=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,v=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$である。

(2) $$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$$とおく。まず$$v={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$の場合、計算により$$\mathrm{\mid }\gamma {\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }(1-v)\alpha +v{\alpha }^2{\mathrm{\mid }}^2=2+2\cos (\theta +\frac{2\pi }{3})$$である。$$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$では$$\cos (\theta +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$となるので、$\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }<1$であり、条件を満たさない。

次に$$v={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$の場合、$$\mathrm{\mid }\gamma {\mathrm{\mid }}^2=2+2\cos (\theta -\frac{2\pi }{3})$$であり、$$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$では$\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }\geqq 1$が成り立つ。

この候補について、重心は$$z=\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}=\frac{(2-v)\alpha +(1+v){\alpha }^2}{3}$$である。直接計算すると$$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=\frac{2}{3}\{1+\cos (\theta -\frac{\pi }{3})\}$$である。したがって$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$であり、等号は$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$のときに成り立つ。よって求める最大値は$$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$である。

A、Bは単位円上にあり、ABの中点Dを通る垂直二等分線上にOと正三角形の頂点Cが並ぶ。$\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }\geqq 1$ でCの側を決め、重心Gまでの距離を三角比で最大化する。

(1)
$\gamma -\alpha =v(\beta -\alpha )$ であり、辺ABをAを中心に $\pm \pi \mathrm{/}3$ 回転すると辺ACになる。したがって$$v=\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\mathrm{.}$$(2)
ABの中点をDとする。$OA=OB=1$ で中心角 $\mathrm{\angle }AOB=\theta$ だから$$OD=\cos \frac{\theta }{2},AD=\sin \frac{\theta }{2}\mathrm{.}$$また正三角形ABCより$$CD=\sqrt{3}AD=\sqrt{3}\sin \frac{\theta }{2}\mathrm{.}$$ODとCDはいずれもABに垂直なので、O、D、Cは同一直線上にある。Cの2候補について$$OC=\mid \cos \frac{\theta }{2}\pm \sqrt{3}\sin \frac{\theta }{2}\mid \mathrm{.}$$$0<\theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ で $\mathrm{\mid }\gamma \mathrm{\mid }=OC\geqq 1$ を満たすのは、DからOと反対側へ進む正符号の候補である。重心Gは中線CDを $CG:GD=2:1$ に分けるので$$DG=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \frac{\theta }{2}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=OG=\cos \frac{\theta }{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \frac{\theta }{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos (\frac{\theta }{2}-\frac{\pi }{6})\mathrm{.}$$$0<\theta \mathrm{/}2\leqq \pi \mathrm{/}4$ であり、$\theta =\pi \mathrm{/}3$ のとき余弦が1になる。したがって最大値は$$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$