横浜国立大学 2023年度理系数学第3問解答・解説

問題

複素数平面上に3点 $A (α), B (β), C (γ)$ を頂点とする正三角形 $A B C$ がある。次の問いに答えよ。

(1) $γ = (1 - v) α + v β$ （ $v$ は複素数）と表すとき、 $v$ をすべて求めよ。

(2) 三角形 $A B C$ の重心を $G (z)$ とする。 $α, β, γ$ が次の条件(＊)をみたしながら動くとき、 $∣ z ∣$ の最大値を求めよ。

(＊) {∣ α ∣ = 1, β = α^{2}, ∣ γ ∣ ≧ 1, α の偏角 θ は 0 < θ ≦ \frac{π}{2} の範囲にある。

出典：横浜国立大学 2023年度前期理系第3問

方針

解法1

(1)では $v = (γ - α) / (β - α)$ が、辺 $A B$ を辺 $A C$ へ移す回転を表すことを使う。(2)では $α = cos θ + i sin θ$ とおき、(1)の2候補のうち $∣ γ ∣ ≧ 1$ を満たすものを判定する。残った候補について重心の絶対値を $θ$ の三角関数で表し、最大値を求める。

解法2（垂直二等分線上の長さで求める方法）

A、Bは単位円上にあり、ABの中点Dを通る垂直二等分線上にOと正三角形の頂点Cが並ぶ。 $∣ γ ∣ ≧ 1$ でCの側を決め、重心Gまでの距離を三角比で最大化する。

解答

解法1

(1)

$γ - α = v (β - α)$ である。正三角形では、 $A B$ を $A C$ に移すには、長さを変えずに $6 0^{\circ}$ または $- 6 0^{\circ}$ 回転すればよい。したがって

v = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i, v = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

である。

(2)

$α = cos θ + i sin θ$ とおく。まず $v = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ の場合、計算により

∣ γ ∣^{2} = ∣ (1 - v) α + v α^{2} ∣^{2} = 2 + 2 cos (θ + \frac{2 π}{3})

である。 $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ では $cos (θ + \frac{2 π}{3}) < - \frac{1}{2}$ となるので、 $∣ γ ∣ < 1$ であり、条件を満たさない。

次に $v = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ の場合、

∣ γ ∣^{2} = 2 + 2 cos (θ - \frac{2 π}{3})

であり、 $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ では $∣ γ ∣ ≧ 1$ が成り立つ。

この候補について、重心は

z = \frac{α + β + γ}{3} = \frac{( 2 - v ) α + ( 1 + v ) α ^{2}}{3}

である。直接計算すると

∣ z ∣^{2} = \frac{2}{3} {1 + cos (θ - \frac{π}{3})}

である。したがって $∣ z ∣^{2} ≦ \frac{4}{3}$ であり、等号は $θ = \frac{π}{3}$ のときに成り立つ。よって求める最大値は

\frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

である。

解法2（垂直二等分線上の長さで求める方法）

(1)

$γ - α = v (β - α)$ であり、辺ABをAを中心に $\pm π /3$ 回転すると辺ACになる。したがって

v = cos \frac{π}{3} \pm i sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i .

(2)

ABの中点をDとする。 $O A = O B = 1$ で中心角 $∠ A O B = θ$ だから

O D = cos \frac{θ}{2}, A D = sin \frac{θ}{2} .

また正三角形ABCより

C D = 3 A D = 3 sin \frac{θ}{2} .

ODとCDはいずれもABに垂直なので、O、D、Cは同一直線上にある。Cの2候補について

O C = cos \frac{θ}{2} \pm 3 sin \frac{θ}{2} .

$0 < θ ≦ π /2$ で $∣ γ ∣ = O C ≧ 1$ を満たすのは、DからOと反対側へ進む正符号の候補である。

重心Gは中線CDを $C G : G D = 2 : 1$ に分けるので

D G = \frac{1}{3} C D = \frac{1}{3} sin \frac{θ}{2} .

よって

∣ z ∣ = O G = cos \frac{θ}{2} + \frac{1}{3} sin \frac{θ}{2} = \frac{2}{3} cos (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) .

$0 < θ /2 ≦ π /4$ であり、 $θ = π /3$ のとき余弦が1になる。したがって最大値は

\frac{2}{3} = \frac{2 3}{3} .

横浜国立大学 2023年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（垂直二等分線上の長さで求める方法）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（垂直二等分線上の長さで求める方法）

(1)

(2)

横浜国立大学 2023年度
理系数学第3問