広島大学 2019年度 前期理系数学 第1問

(1)
定義より $b_1=a_1$，$b_{n+1}=b_n{a}_{n+1}$ であるから，帰納的に$$b_n=a_1{a}_2\cdots a_n$$である。ここで $a_k=a{r}^{k-1}$ だから$$b_n=a^n{r}^{0+1+\cdots +(n-1)}=a^n{r}^{\frac{n(n-1)}{2}}$$である。

(2)
(1)より$${\log }_2{b}_n=n{\log }_{2}a+\frac{n(n-1)}{2}{\log }_{2}r$$である。したがって$$c_n={\log }_{2}a+\frac{n-1}{2}{\log }_{2}r$$となり，$$c_{n+1}-c_n=\frac{1}{2}{\log }_{2}r$$ は $n$ によらず一定である。よって $\{c_n\}$ は等差数列である。

(3)
$\{c_n\}$ は等差数列であるから，初項から第$n$項までの平均は$$M_n=\frac{c_1+c_n}{2}={\log }_{2}a+\frac{n-1}{4}{\log }_{2}r$$である。ゆえに$$d_n=2^{M_n}=a{r}^{\frac{n-1}{4}}$$である。したがって$$\frac{d_{n+1}}{d_n}=r^{\frac{1}{4}}$$は一定であり，$\{d_n\}$ は等比数列である。

各項そのものではなく、最初から底2の対数をとる。$A={\log }_{2}a$、$R={\log }_{2}r$ とおけば、積の漸化式は和の漸化式に変わり、$c_n,M_n,d_n$ を一続きで求められる。

(1)
$A={\log }_{2}a$、$R={\log }_{2}r$、$B_n={\log }_2{b}_n$ とおく。$a_{n+1}=a{r}^n$ だから$$B_{n+1}=B_n+{\log }_2{a}_{n+1}=B_n+A+nR,B_1=A\mathrm{.}$$したがって$$B_n=nA+\frac{n(n-1)}{2}R\mathrm{.}$$指数に戻して$$b_n=2^{B_n}=a^n{r}^{n(n-1)\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2)$$c_n=\frac{B_n}{n}=A+\frac{n-1}{2}R\mathrm{.}$$よって$$c_{n+1}-c_n=\frac{R}{2}=\frac{1}{2}{\log }_{2}r$$は一定であり、$\{c_n\}$ は等差数列である。

(3)
一般項を直接平均すると$$M_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(A+\frac{k-1}{2}R)=A+\frac{n-1}{4}R\mathrm{.}$$したがって$$d_n=2^{M_n}=a{r}^{(n-1)\mathrm{/}4},\frac{d_{n+1}}{d_n}=r^{1\mathrm{/}4}\mathrm{.}$$公比が $n$ によらないので、$\{d_n\}$ は初項 $a$、公比 $r^{1\mathrm{/}4}$ の等比数列である。