広島大学 2022年度 前期 理系理系数学 第3問

(1) $$c_3=52,c_4=65,c_5=117,c_6=182$$である。したがって$$182-117=65,117-65=52,65-52=13$$より，$c_5$と$c_6$の最大公約数は$$13$$である。

(2)
$n=1$のとき，$c_1=a,c_2=b$は奇数であり，$$c_3=a+b$$は偶数である。よって$P_1$は成り立つ。

$P_n$が成り立つと仮定する。このとき$$c_{3n-2},c_{3n-1}\text{ は奇数},c_{3n}\text{ は偶数}$$である。漸化式より$$c_{3n+1}=c_{3n}+c_{3n-1}$$は奇数，$$c_{3n+2}=c_{3n+1}+c_{3n}$$も奇数，$$c_{3n+3}=c_{3n+2}+c_{3n+1}$$は偶数である。したがって$P_{n+1}$も成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての自然数$n$について$P_n$は成り立つ。

(3)
$n=1,2$のとき，仮定より$c_1=a,c_2=b$はいずれも$d$の倍数である。

$c_n$と$c_{n+1}$がともに$d$の倍数であると仮定すると，$$c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$$も$d$の倍数である。したがって数学的帰納法により，すべての自然数$n$について$c_n$は$d$の倍数である。

(4)
対偶を示す。すなわち，$a+b$が偶数であるとき$c_{2022}$が偶数であることを示せばよい。

$a+b$が偶数なら，$a,b$はともに奇数であるか，ともに偶数である。ともに奇数である場合，(2)より$c_{3n}$は偶数である。$2022=3\cdot 674$であるから，$c_{2022}$は偶数である。ともに偶数である場合，(3)を$d=2$として用いれば，すべての$c_n$は偶数であり，特に$c_{2022}$は偶数である。

よって対偶が示されたので，$c_{2022}$が奇数であるならば$a+b$は奇数である。

最大公約数はユークリッドの互除法で求める。偶奇については
$c_{n+3}=c_n+2c_{n+1}$ から $c_{n+3}\equiv c_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ を導き、
3項周期を明らかにする。(2)(3)では指定通り帰納法も明記する。

(1) $$c_3=52,c_4=65,c_5=117,c_6=182.$$ユークリッドの互除法により$$\gcd (182,117)=\gcd (117,65)=\gcd (65,52)=\gcd (52,13)=13.$$(2)
漸化式を2回用いると$$c_{n+3}=c_{n+2}+c_{n+1}=c_n+2c_{n+1},$$したがって$$c_{n+3}\equiv c_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$$a,b$ が奇数なら、最初の3項の偶奇は$$c_1\equiv 1,c_2\equiv 1,c_3=a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$そこで $P_n$ を「$c_{3n-2},c_{3n-1}$ は奇数、$c_{3n}$ は偶数」とする。
上の合同式により $P_n$ から3項後も同じ偶奇となるので $P_{n+1}$ が従う。
$P_1$ も上で確認したから、数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で
$P_n$ が成り立つ。

(3)
$d\mid a$ かつ $d\mid b$ とする。$c_1,c_2$ は $d$ の倍数である。
連続する $c_n,c_{n+1}$ がともに $d$ の倍数なら$$c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$$も $d$ の倍数である。よって数学的帰納法により、すべての $c_n$ は
$d$ の倍数である。

(4)
$2022\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから、3項周期より$$c_{2022}\equiv c_3\equiv a+b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)\mathrm{.}$$したがって $c_{2022}$ が奇数なら $a+b$ も奇数である。