広島大学 2021年度 前期理系数学 第1問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x^2+(2a+1)x-a=-(x-a)(2x-1)$$である。$x=a$で極大値をとるには，導関数の符号が$x=a$の前後で正から負に変わればよい。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$は上に凸でない2次式であり，根は$a$と$\frac{1}{2}$であるから，$a$が大きい方の根でなければならない。よって$$a>\frac{1}{2}$$である。

(2)
$x<-1$では $\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }=1-2x$，$-1\leqq x\leqq 2$では $3$，$2<x$では $2x-1$ である。したがって$$-\frac{3}{2}\leqq x\leqq \frac{5}{2}$$である。

(3)
(1)より $a>\frac{1}{2}$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$の符号は$$-(x<\frac{1}{2}),+(\frac{1}{2}<x<a),-(a<x)$$である。また$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3}{2})=\frac{30a+27}{8},f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1-6a}{24},f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{90a-175}{24},f(a)=\frac{a^2(2a-3)}{6}$$である。$a\leqq \frac{5}{2}$のときも $$f(a)\leqq \frac{25}{12}<\frac{21}{4}<f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3}{2})$$ であり，$a>\frac{5}{2}$のときは区間内で $x=a$ をとらない。したがって最大値は常に左端でとり，$$\frac{30a+27}{8}$$である。最小値については$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{5}{2}\right)-f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{16(6a-11)}{24}$$より，$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{90a-175}{24}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<a<{\displaystyle \frac{11}{6}}),\\ {\displaystyle \frac{1-6a}{24}}& (a\geqq {\displaystyle \frac{11}{6}})\end{array}$$である。

(1) は停留条件を確認したうえで2階微分により極大条件を直ちに判定する。(2) は絶対値の折れ点ごとに解く。(3) は増減から候補点だけを抽出し，端点値の差を $a$ の1次式として比較する。

(1)
まず$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-(2x-1)(x-a)$$なので，$f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ である。さらに$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4x+2a+1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=1-2a$$である。したがって $x=a$ で極大値をとるための条件は$$1-2a<0,\text{すなわち}a>\frac{1}{2}$$である。$a=\frac{1}{2}$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2(x-\frac{1}{2}{)}^2$ となり，極大ではない。

(2)
折れ点 $-1,2$ で区切る。$$\begin{array}{cc}\text{範囲}& \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }\\ x<-1& 1-2x\\ -1\leqq x\leqq 2& 3\\ x>2& 2x-1\end{array}$$よって左側では $1-2x\leqq 4$ から $x\geqq -\frac{3}{2}$，中央では常に成立し，右側では $2x-1\leqq 4$ から $x\leqq \frac{5}{2}$ である。したがって$$-\frac{3}{2}\leqq x\leqq \frac{5}{2}$$となる。

(3)
$a>\frac{1}{2}$ のもとで$$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0(x<\frac{1}{2}),f^{\mathrm{\prime }}(x)>0(\frac{1}{2}<x<a),f^{\mathrm{\prime }}(x)<0(x>a)$$である。したがって最小値の候補は $x=\frac{1}{2},\frac{5}{2}$，最大値の候補は $x=-\frac{3}{2}$ と，区間内にある場合の $x=a$ である。

候補値は$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3}{2})}& {\displaystyle =\frac{30a+27}{8},}& {\displaystyle f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)}& {\displaystyle =\frac{1-6a}{24},}\\ {\displaystyle f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{5}{2}\right)}& {\displaystyle =\frac{90a-175}{24},}& {\displaystyle f(a)}& {\displaystyle =\frac{a^2(2a-3)}{6}\mathrm{.}}\end{array}$$$\frac{1}{2}<a\leqq \frac{5}{2}$ では $$f(a)\leqq \frac{25}{12}$$ である一方，$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-\frac{3}{2})>\frac{21}{4}$$だから，最大値は常に$$\frac{30a+27}{8}$$である。

最小値については$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)-f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{22-12a}{3}$$である。よって$$\min f=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{90a-175}{24}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<a\leqq {\displaystyle \frac{11}{6}}),\\ {\displaystyle \frac{1-6a}{24}}& (a>{\displaystyle \frac{11}{6}})\end{array}$$となる。境界 $$a=\frac{11}{6}$$ では2つの端点値が一致する。