広島大学 2021年度 前期理系数学 第2問

(1)
$B=(u,u^2)$とおく。垂直条件より$$(u-1)(u-\sqrt{2}+1)+(u^2-1)(u^2-\sqrt{2}-1)=0$$である。$u=1$は点$A$に対応するので除く。左辺を$u-1$で割ると$$u^3+u^2-\sqrt{2}u-2\sqrt{2}=0$$すなわち$$(u-\sqrt{2})\{u^2+(\sqrt{2}+1)u+2\}=0$$である。2次式の判別式は負であるから，$u=\sqrt{2}$。よって$$B=(\sqrt{2},2)$$である。

(2) $$D=(v,-\sqrt{2}{v}^2+3v+\sqrt{2})$$とおく。垂直条件より$$(v-1)(v-\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}{v}^2+3v+\sqrt{2}-1)(-\sqrt{2}{v}^2+3v-1)=0$$である。整理すると$$v\{v-(\sqrt{2}-1)\}\{v^2-(2\sqrt{2}+1)v+1+2\sqrt{2}\}=0$$となる。$v=\sqrt{2}-1$は点$C$に対応し，2次式の判別式は負である。したがって $v=0$ であり，$$D=(0,\sqrt{2})$$である。

(3) $$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{2}-1,1),\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{2}-1)$$であるから，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=(\sqrt{2}-1{)}^2+1=4-2\sqrt{2},$$$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{BC}{\mathrm{\mid }}^2=1+(\sqrt{2}-1{)}^2=4-2\sqrt{2}$$であり，さらに$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}-1)=0$$である。また$$\overrightarrow{CD}=(1-\sqrt{2},-1)=-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA}=(1,1-\sqrt{2})=-\overrightarrow{BC}$$であるから，四角形$ABCD$は平行四辺形である。隣り合う辺の長さが等しく，かつそのなす角が直角であるので，四角形$ABCD$は正方形である。

垂直条件を『点 $B,D$ は直径 $AC$ の円周上にある』と言い換える。円と2つの放物線の交点を求め，最後は2本の対角線が互いに二等分し，長さが等しく直交することから正方形と判定する。

(1)
$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{CB}$ は $\mathrm{\angle }ABC={90}^{\circ }$ と同値である。したがって $B$ は直径 $AC$ の円周上にある。この円は$$(x-1)(x-\sqrt{2}+1)+(y-1)(y-\sqrt{2}-1)=0$$で表される。

ここに $y=x^2$ を代入すると$$(x-1)(x-\sqrt{2})\{x^2+(\sqrt{2}+1)x+2\}=0$$を得る。最後の2次式の判別式は$$(\sqrt{2}+1{)}^2-8=2\sqrt{2}-5<0$$である。$x=1$ は点 $A$ なので除き，$$B=(\sqrt{2},2)$$となる。

(2)
同様に $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{CD}$ より，$D$ も直径 $AC$ の円周上にある。第2の放物線$$y=-\sqrt{2}{x}^2+3x+\sqrt{2}$$を円の方程式へ代入して整理すると$$x\{x-(\sqrt{2}-1)\}\{x^2-(2\sqrt{2}+1)x+2\sqrt{2}+1\}=0$$となる。最後の2次式の判別式は $5-4\sqrt{2}<0$，また $x=\sqrt{2}-1$ は点 $C$ に対応する。よって$$D=(0,\sqrt{2})$$である。

(3)
4点の配置は次のようになる。

対角線の中点はともに$$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{2+\sqrt{2}}{2})$$であるから，四角形 $ABCD$ は平行四辺形である。また$$\overrightarrow{AC}=(\sqrt{2}-2,\sqrt{2}),\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{2},\sqrt{2}-2)$$より$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BD}{\mathrm{\mid }}^2=8-4\sqrt{2},\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0.$$対角線が等しい平行四辺形は長方形であり，対角線が直交する平行四辺形はひし形である。したがって両方を満たす $ABCD$ は正方形である。