広島大学 2025年度 前期理系数学 第2問

1回の操作は，$P_n\to Q_n$ が鉛直，$Q_n\to R_n$ が $AC$ への垂線，$R_n\to P_{n+1}$ が水平，という流れである。

(1)
直線$AC$上の点を$$(s,a-as)$$とおく。$Q_1=(p,0)$から直線$AC$への垂線の足が$R_1$であるから、$(p-s,-a+as)$と$(1,-a)$の内積は$0$である。よって$$(p-s)+a^2(1-s)=0$$となり、$$s=\frac{p+a^2}{1+a^2}$$である。したがって$$R_1=(\frac{p+a^2}{1+a^2},\frac{a(1-p)}{1+a^2})$$である。

(2)
点$P_1$が線分$AB$上にあることは $-1\leqq p\leqq 0$ と同値である。また、$R_1$が線分$AC$上にあることは$$0\leqq \frac{p+a^2}{1+a^2}\leqq 1$$と同値である。右側の不等式は $-1\leqq p\leqq 0$ で常に成り立つ。左側の不等式がすべての $-1\leqq p\leqq 0$ で成り立つための条件は、$p=-1$でも $p+a^2\geqq 0$ となることである。したがって，この命題が真であるための必要十分条件は$$a\geqq 1$$である。

(3)
(1)と同様に、$Q_n=(x_n,0)$から下ろした垂線の足$R_n$は$$R_n=(\frac{x_n+a^2}{1+a^2},\frac{a(1-x_n)}{1+a^2})$$である。直線$AB$は $y=a(x+1)$ であるから、$R_n$を通る水平線との交点の$x$座標は$$a(x_{n+1}+1)=\frac{a(1-x_n)}{1+a^2}$$を満たす。したがって$$x_{n+1}=\frac{-x_n-a^2}{1+a^2}$$である。この漸化式の固定値は$$\mathrm{\ell }=-\frac{a^2}{a^2+2}$$であり、$$x_{n+1}-\mathrm{\ell }=-\frac{1}{1+a^2}(x_n-\mathrm{\ell })$$となる。$x_1=p$より$$x_n=-\frac{a^2}{a^2+2}+{(-\frac{1}{1+a^2})}^{n-1}(p+\frac{a^2}{a^2+2})$$である。

(4)
$a=2,p=0$のとき$$x_n=-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}{(-\frac{1}{5})}^{n-1}$$である。したがって$$\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-x_n\mathrm{\mid }=\frac{4}{5^n}$$となる。求める条件は$$5^n>4\cdot {10}^{10}$$である。常用対数をとると$$n{\log }_{10}5>{\log }_{10}4+10$$である。$${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2=0.6990$$、${\log }_{10}4=0.6020$より$$n>\frac{10.6020}{0.6990}$$となる。$15\cdot 0.6990=10.4850$、$16\cdot 0.6990=11.1840$であるから、最小の自然数は$$16$$である。