北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $l$ の方向ベクトルを $\vec{v}=(1,m)$ とする。点 $B(2,0)$ から $l$ へ下ろした足を $H$ とすると、$H$ は $B$ の $\vec{v}$ 方向への射影であるから$$H={\displaystyle \frac{(2,0)\cdot (1,m)}{1^2+m^2}}(1,m)=({\displaystyle \frac{2}{1+m^2}},{\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}})$$である。直線 $l$ に関する対称点を $B^{\mathrm{\prime }}$ とすると、$H$ は $B{B}^{\mathrm{\prime }}$ の中点である。したがって $B^{\mathrm{\prime }}=2H-B$ より$$B^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{4}{1+m^2}}-2,{\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}})=({\displaystyle \frac{2(1-m^2)}{1+m^2}},{\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}})$$である。

(2)
(1) の対称点を $B^{\mathrm{\prime }}$ とする。$P$ が直線 $l$ 上にあるとき、対称性より $PB=P{B}^{\mathrm{\prime }}$ であるから $AP+PB=AP+P{B}^{\mathrm{\prime }}$ である。したがって $AP+PB$ を最小にする $P$ は、直線 $A{B}^{\mathrm{\prime }}$ と直線 $l$ の交点である。ただし $A,B^{\mathrm{\prime }}$ を結ぶ線分が $l$ と交わることを、計算の中で確認すればよい。

直線 $A{B}^{\mathrm{\prime }}$ 上の点を $P=A+\lambda (B^{\mathrm{\prime }}-A)$ とおく。ここで$$B^{\mathrm{\prime }}-A=({\displaystyle \frac{2(1-m^2)}{1+m^2}}-1,{\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}})=({\displaystyle \frac{1-3m^2}{1+m^2}},{\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}})$$であるから $$P=(1+\lambda {\displaystyle \frac{1-3m^2}{1+m^2}},\lambda {\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}})$$ である。この点が $l:y=mx$ 上にある条件を用いる。$m\mathrm{\ne }0$ なので両辺を $m$ で割ると $${\displaystyle \frac{4\lambda }{1+m^2}}=1+\lambda {\displaystyle \frac{1-3m^2}{1+m^2}}$$ となる。よって $$4\lambda =1+m^2+\lambda (1-3m^2)$$ であり、整理して $3(1+m^2)\lambda =1+m^2$ を得る。したがって $$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。これは $0<\lambda <1$ を満たすので、交点は線分 $A{B}^{\mathrm{\prime }}$ 上にある。ゆえに $$P=({\displaystyle \frac{4}{3(1+m^2)}},{\displaystyle \frac{4m}{3(1+m^2)}})$$ である。 $P=(x,y)$ とおくと $$x={\displaystyle \frac{4}{3(1+m^2)}},y={\displaystyle \frac{4m}{3(1+m^2)}}$$ である。したがって$$x^2+y^2={\displaystyle \frac{16(1+m^2)}{9(1+m^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{16}{9(1+m^2)}}={\displaystyle \frac{4}{3}}x$$となる。よって $${(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。

ただし $m\mathrm{\ne }0$ だから $y\mathrm{\ne }0$ であり、円上の点 $(4\mathrm{/}3,0)$ は含まれない。また有限の $m$ に対して $x=4\mathrm{/}(3(1+m^2))>0$ であるから、点 $(0,0)$ も含まれない。逆に、この円上で $(0,0)$ と $(4\mathrm{/}3,0)$ を除いた点は $x>0$ かつ $y\mathrm{\ne }0$ を満たすので、$m=y\mathrm{/}x$ とおけば上の表示で得られる。したがって求める図形は$${(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}\text{ のうち }(0,0),(4\mathrm{/}3,0)\text{ を除いた部分}$$である。

$P=(u,mu)$ と置き、$AP+PB$ を $u$ の関数として直接微分する。得られた唯一の最小点から $m$ を消去し、端点が実際に取られるかも確認する。

(1)
点 $B$ から $l$ へ下ろした垂線の足を $H$ とする。$H=(s,ms)$ と置くと$$(2-s,-ms)\cdot (1,m)=0,$$よって $s=2\mathrm{/}(1+m^2)$ である。対称点を $B^{\mathrm{\prime }}$ とすれば $H$ は $B{B}^{\mathrm{\prime }}$ の中点だから$$B^{\mathrm{\prime }}=2H-B=({\displaystyle \frac{2(1-m^2)}{1+m^2}},{\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}})\mathrm{.}$$(2)
$P=(u,mu)$ と置き、$F(u)=AP+PB$ とする。$m\mathrm{\ne }0$ なので各距離は滑らかで、$$F^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{(1+m^2)u-1}{AP}}+{\displaystyle \frac{(1+m^2)u-2}{PB}}\mathrm{.}$$$$u_0={\displaystyle \frac{4}{3(1+m^2)}}$$と置くと、直接計算により $PB=2AP$ であり、2つの分子はそれぞれ $1\mathrm{/}3,-2\mathrm{/}3$ となる。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(u_0)=0$ である。各距離は直線上で狭義凸だから、この点が唯一の最小点である。

よって$$P=({\displaystyle \frac{4}{3(1+m^2)}},{\displaystyle \frac{4m}{3(1+m^2)}})\mathrm{.}$$$P=(x,y)$ とすれば$$x^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{3}}x,$$すなわち$${(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$$m\mathrm{\ne }0$ かつ有限であるため $(4\mathrm{/}3,0),(0,0)$ は取られず、それ以外は $m=y\mathrm{/}x$ により取られる。したがって求める軌跡は、この円から2点 $(0,0),(4\mathrm{/}3,0)$ を除いた部分である。