北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

条件（イ）に出てくる行列を$$G=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$$とおく。条件（イ）は $AG=GA$ である。両辺を成分で計算すると$$AG=\left(\begin{array}{cc}a+3b& -3a+b\\ c+3d& -3c+d\end{array}\right)$$であり、$$GA=\left(\begin{array}{cc}a-3c& b-3d\\ 3a+c& 3b+d\end{array}\right)$$である。したがって成分比較より $$a+3b=a-3c,-3a+b=b-3d$$ などを得る。これらから $c=-b,d=a$ である。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$$と書ける。

次に条件（ロ）を用いる。$\vec{e}=(1,0{)}^T$ であるから$$f(\vec{e})=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ -b\end{array}\right)$$である。$\vec{e}$ と $f(\vec{e})$ のなす角が $\pi \mathrm{/}6$ なので、$f(\vec{e})$ の第1成分は正であり $a>0$ である。また、$\vec{e}$ と $f(\vec{e})$ を2辺とする平行四辺形の面積は$$\mid \det \left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& -b\end{array}\right)\mid =\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$$である。これが $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから $$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。

さらに、角が $\pi \mathrm{/}6$ であることから $$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }}{a}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }}{a}}$$ となる。上で求めた $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=2\mathrm{/}\sqrt{3}$ を代入して $a=2$ を得る。 $b$ の符号は2通りあるので、求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}2& {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2& -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}& 2\end{array}\right)$$である。

平面ベクトルを複素数とみなし、$g$ を $1+3i$ 倍と読む。可換条件から $f$ もある複素数倍となることを示し、角と平行四辺形の高さからその複素数を決める。

平面ベクトル $(x,y)$ を複素数 $x+iy$ とみなす。このとき $g$ は $1+3i$ を掛ける変換である。

$w=f(1)$ と置く。$1$ と $g(1)=1+3i$ は実ベクトルとして一次独立である。また $f\circ g=g\circ f$ より$$f(1+3i)=(1+3i)w\mathrm{.}$$したがって任意の実数 $r,s$ に対して$$f\{r+s(1+3i)\}=w\{r+s(1+3i)\}\mathrm{.}$$ゆえに $f$ は複素数 $w$ を掛ける変換である。

$1$ と $w$ のなす角は $\pi \mathrm{/}6$ だから、$w$ の偏角は $\pm \pi \mathrm{/}6$ である。平行四辺形の面積は底辺1、高さ $\mid w\mid \sin (\pi \mathrm{/}6)$ なので$$\mid w\mid \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$よって $\mid w\mid =4\mathrm{/}\sqrt{3}$ であり、$$w=2\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}i\mathrm{.}$$複素数 $\alpha +i\beta$ を掛ける変換の行列は$$\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right)$$だから、求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}2& {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2& -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}& 2\end{array}\right)$$である。