北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$M=2^m$ とおく。$m>2$ より $M>4$ である。

(1)
(A)は $x^2-2Mx+3M=0$ である。判別式は $$(-2M{)}^2-4\cdot 3M=4M(M-3)$$ であり、$M>4$ だから正である。よって(A)は2つの異なる実数解をもつ。

(B)では、対数が定義されるために $x>1$ が必要である。このもとで $2{\log }_{2}x-{\log }_2(x-1)=m$ は $${\log }_2{\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}={\log }_{2}M$$ と同値であり、さらに $x^2=M(x-1)$ すなわち $x^2-Mx+M=0$ と同値である。この判別式は $M^2-4M=M(M-4)>0$ なので、2つの異なる実数解をもつ。

定義域も確認する。$q(x)=x^2-Mx+M$ とおくと $$q(1)=1>0,q(2)=4-M<0$$ であるから、小さい方の根は $1$ と $2$ の間にある。また2根の積は $M>0$ であり、和も $M>0$ であるから、もう一方の根も正で、しかも小さい根より大きい。したがって(B)の2解はいずれも $x>1$ を満たす。よって(B)も2つの異なる実数解をもつ。

(2)
(A)の左辺を $p(x)=x^2-2Mx+3M$ とおく。まず(A)の2根の位置を調べる。 $$p(0)=3M>0,p(2)=4-4M+3M=4-M<0$$ である。上に開く2次式であるから、(A)の小さい根を $\alpha$、大きい根を $\beta$ とすると $0<\alpha <2<\beta$ である。

次に(B)の2次式 $q(x)=x^2-Mx+M$ を考える。差を取ると $q(x)-p(x)=Mx-2M=M(x-2)$ である。したがって(A)の根、すなわち $p(x)=0$ を満たす $x$ では $q(x)=M(x-2)$ となる。よって $$q(\alpha )=M(\alpha -2)<0,q(\beta )=M(\beta -2)>0$$ である。

(B)の2つの解を $r<s$ とする。$q(x)$ は上に開く2次式なので、$q(x)<0$ となるのは $r<x<s$ のときに限る。したがって $q(\alpha )<0$ より $\alpha$ は(B)の2解の間にあり、$q(\beta )>0$ より $\beta$ はその間にない。ゆえに(A)の解のうちちょうど1つだけが(B)の2つの解の間にある。

2つの二次式の符号から決まる4根の順序

(1) $M=2^m>4$ とおき、2つの方程式を二次方程式 $p(x)=0$、$q(x)=0$ に直す。判別式と対数の定義域を確認する。(2) 今度は(B)の2根 $r<s$ で(A)側の式 $p(x)$ の符号を調べる。$r<2<s$ と $p(x)=M(2-x)$ を組み合わせ、4根の順序を直接決める。

(1) $M=2^m$ とおくと $M>4$ である。(A)、(B)はそれぞれ$$p(x)=x^2-2Mx+3M=0,q(x)=x^2-Mx+M=0$$となる。ただし(B)では $x>1$ が必要である。

$p(x)=0$ の判別式は $4M(M-3)>0$、$q(x)=0$ の判別式は $M(M-4)>0$ だから、いずれも異なる2実根をもつ。さらに$$q(1)=1>0,q(2)=4-M<0$$なので、$q(x)=0$ の小さい根は $1$ と $2$ の間にある。大きい根はそれより大きく、2根の積が $M>0$ であることから正である。よって(B)の2根はともに定義域に入り、(1)が示された。

(2) (B)の2根を $r<s$ とする。上の符号から $1<r<2<s$ である。実際、$q(2)<0$ であり、$q$ は上に開くから $2$ は2根の間にある。

$q(x)=0$ を満たす点では $x^2=Mx-M$ だから$$p(x)=x^2-2Mx+3M=M(2-x)$$である。したがって$$p(r)=M(2-r)>0,p(s)=M(2-s)<0.$$(A)の2根を $\alpha <\beta$ とする。$p(s)<0$ より $\alpha <s<\beta$ である。また $p(r)>0$ であり $r<s<\beta$ だから、$r$ は $\beta$ より右にはなく、$r<\alpha$ でなければならない。ゆえに$$r<\alpha <s<\beta$$となる。(A)の2根のうち(B)の2根の間にあるのは $\alpha$ だけである。