北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$h(x)=\log (nx)-x$$と置く。$n\geqq 3>e$ だから、指定区間は $0<x<1$ に含まれる。両端では$$h\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{n}}<0,h\left({\displaystyle \frac{e}{n}}\right)=1-{\displaystyle \frac{e}{n}}>0.$$また$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1>0(0<x<1)$$である。よって中間値の定理と単調性により、指定区間に解 $x_n$ がただ1つ存在する。

(2) $$y_n=n{x}_n$$と置くと $1\leqq y_n\leqq e$ であり、元の方程式から$$\log y_n={\displaystyle \frac{y_n}{n}}\mathrm{.}$$したがって$$0\leqq \log y_n\leqq {\displaystyle \frac{e}{n}}⟶0.$$ゆえに $y_n\to 1$ である。よって$$\underset{\mathbf{n}\to \mathbf{\infty }}{\lim }\mathbf{n}{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{1}\mathrm{.}$$

最初から $y=nx$ と置き、$\log y=y\mathrm{/}n$ を $[1,e]$ で調べる。存在・一意性を $g_n(y)=\log y-y\mathrm{/}n$ の増加性で示し、指数形 $y_n=e^{y_n\mathrm{/}n}$ から直接挟む。

(1)
$y=nx$ と置くと、指定区間は $1\leqq y\leqq e$ となり、方程式は$$g_n(y)=\log y-{\displaystyle \frac{y}{n}}=0$$となる。端点では$$g_n(1)=-{\displaystyle \frac{1}{n}}<0,g_n(e)=1-{\displaystyle \frac{e}{n}}>0.$$さらに $1\leqq y\leqq e<n$ で$$g_n^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{y}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}>0$$である。よって $[1,e]$ に解はただ1つあり、元の区間にも解がただ1つある。

(2)
解を $y_n=n{x}_n$ とすれば$$y_n=e^{y_n\mathrm{/}n}\mathrm{.}$$$1\leqq y_n\leqq e$ なので$$e^{1\mathrm{/}n}\leqq y_n\leqq e^{e\mathrm{/}n}\mathrm{.}$$両端はともに $1$ へ近づくから、挟み撃ちの原理より$$\underset{\mathbf{n}\to \mathbf{\infty }}{\lim }\mathbf{n}{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}=\underset{\mathbf{n}\to \mathbf{\infty }}{\lim }{\mathbf{y}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{1}\mathrm{.}$$