北大 1985年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は三倍角公式 $\sin 3 t = 3 \sin t - 4 \sin^{3} t$ を $t = x_{n + 1}$ に用いるだけでよい。得られた関係を添字をずらして $4 a_{k}^{3} = 3 a_{k} - a_{k - 1}$ と書くと，(2) の和の各項が $3^{k - 1} (3 a_{k} - a_{k - 1}) / 4$ になり，帰納法で一項ずつ消える形になる。初期値 $n = 1$ と帰納法の継ぎ足しを明示する。

解答

(1) 三倍角の公式より $\sin 3 x_{n + 1} = 3 \sin x_{n + 1} - 4 \sin^{3} x_{n + 1}$ である。ここで $a_{n} = \sin x_{n}$ であり，問題の条件は $\sin 3 x_{n + 1} = \sin x_{n}$ であるから $a_{n} = 3 a_{n + 1} - 4 a_{n + 1}^{3}$ を得る。したがって求める関係式は $a_{n} = 3 a_{n + 1} - 4 a_{n + 1}^{3}$ である。

(2) (1) の式で $n = k - 1$ とおくと $a_{k - 1} = 3 a_{k} - 4 a_{k}^{3}$ である。よって $4 a_{k}^{3} = 3 a_{k} - a_{k - 1}$ が成り立つ。

まず $n = 1$ のときを確認する。 $S_{1} = a_{1}^{3}$ であり，上の関係を $k = 1$ に対して用いると $a_{1}^{3} = \frac{3 a_{1} - a_{0}}{4} = \frac{3}{4} a_{1} - \frac{1}{4} a_{0}$ となる。これは $S_{1} = \frac{3^{1}}{4} a_{1} - \frac{1}{4} a_{0}$ であり，主張は $n = 1$ で成り立つ。

次に，ある自然数 $n$ について $S_{n} = \frac{3^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つと仮定する。このとき $S_{n + 1} = S_{n} + 3^{n} a_{n + 1}^{3}$ であるから，帰納法の仮定と $4 a_{n + 1}^{3} = 3 a_{n + 1} - a_{n}$ より $\begin{aligned} S_{n + 1} & = \frac{3^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0} + 3^{n} \cdot \frac{3 a_{n + 1} - a_{n}}{4} \\ = \frac{3^{n + 1}}{4} a_{n + 1} - \frac{1}{4} a_{0} \end{aligned}$ となる。したがって $n + 1$ でも成り立つ。

以上より，数学的帰納法によってすべての自然数 $n$ に対して $S_{n} = \frac{3^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0}$ が成り立つ。

別解

解法2

方針

帰納法の式変形を、常に0になる量を探す形にまとめる。目標式を移項して $R_{n} = 4 S_{n} - 3^{n} a_{n} + a_{0}$ とおき、三倍角公式から $R_{n + 1} - R_{n} = 0$ を示す。初項が0なら全項0であり、要求された帰納法になる。

解答

(1) 三倍角の公式を $x_{n + 1}$ に用いると $\sin 3 x_{n + 1} = 3 \sin x_{n + 1} - 4 \sin^{3} x_{n + 1}$ である。したがって $\begin{matrix} a_{n} = 3 a_{n + 1} - 4 a_{n + 1}^{3} . & (1) \end{matrix}$ (2) 目標の等式を移項した形に合わせて $R_{n} = 4 S_{n} - 3^{n} a_{n} + a_{0}$ とおく。まず $S_{1} = a_{1}^{3}$ と(1)より $R_{1} = 4 a_{1}^{3} - 3 a_{1} + a_{0} = 0$ である。

ある自然数 $n$ について $R_{n} = 0$ と仮定する。和の定義から $S_{n + 1} - S_{n} = 3^{n} a_{n + 1}^{3}$ であるから $\begin{aligned} R_{n + 1} - R_{n} & = 4 \cdot 3^{n} a_{n + 1}^{3} - 3^{n + 1} a_{n + 1} + 3^{n} a_{n} \\ = 3^{n} (4 a_{n + 1}^{3} - 3 a_{n + 1} + a_{n}) \\ = 0 \end{aligned}$ となる。最後の等号には(1)を用いた。したがって $R_{n + 1} = R_{n} = 0$ である。

以上より数学的帰納法によって $R_{n} = 0$ がすべての自然数 $n$ で成り立つ。ゆえに $S_{n} = \frac{3^{n}}{4} a_{n} - \frac{1}{4} a_{0}$ である。

総評

難易度5、計算量4。想定時間12〜18分。三倍角公式を添字 $k - 1$ で書き直すと $4 a_{k}^{3} = 3 a_{k} - a_{k - 1}$ となり、和の係数 $3^{k - 1}$ とかみ合う。帰納法では初期値と、 $S_{n + 1} - S_{n} = 3^{n} a_{n + 1}^{3}$ の両方を明示する。不変量 $R_{n}$ を置く解法は計算の符号を点検しやすい。問題が数学的帰納法を指定しているため、望遠和だけで終えず帰納段階を書く。

出典: 北海道大学 1985年度前期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

北海道大学 1985年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問