北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

行列方程式 $A^2+A=-E$ を成分で比較する。まず$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)$$であるから，$$A^2+A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc+a& b(a+d+1)\\ c(a+d+1)& bc+d^2+d\end{array}\right)$$である。これが$$-E=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$に等しいので $a^2+bc+a=-1,$ $$b(a+d+1)=0,c(a+d+1)=0,$$ $d^2+bc+d=-1$ を得る。

ここで，もし $a+d+1\mathrm{\ne }0$ であったとする。このとき非対角成分の式から $b=0,c=0$ である。すると対角成分の式は $a^2+a=-1$ すなわち $a^2+a+1=0$ を含む。しかしこの方程式の判別式は $1-4=-3<0$ であり，実数 $a$ については成り立たない。したがって $a+d+1=0$ でなければならない。よって $a+d=-1$ である。

次に $d=-a-1$ を用いる。対角成分の式 $a^2+bc+a=-1$ から $bc=-a^2-a-1$ である。一方 $ad=a(-a-1)=-a^2-a$ なので $$ad-bc=(-a^2-a)-(-a^2-a-1)=1$$ である。

したがって，与えられた2次方程式は $x^2-(a+d)x+ad-bc=0$ であるから $x^2+x+1=0$ となる。この解を $\omega$ とする。$\omega =1$ なら左辺は3となるので，$\omega \mathrm{\ne }1$ である。また ${\omega }^2+\omega +1=0$ を満たすから $${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0$$ である。$\omega -1\mathrm{\ne }0$ なので ${\omega }^3=1$ である。よって，この2次方程式の各解の3乗は1となる。

2次正方行列について成分計算で確かめられる恒等式を、与えられた行列方程式と比較する。これにより、係数が0でないなら $A$ が実数のスカラー行列になって矛盾することを使い、$a+d=-1$、$ad-bc=1$ を一度に決める。

2次正方行列 $A$ について、直接成分を計算すると$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$が成り立つ。一方、仮定は$$A^2+A+E=O$$である。2式の差を取ると$$\begin{array}{cccc}& (a+d+1)A=(ad-bc-1)E& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。

もし $a+d+1\mathrm{\ne }0$ なら、(1)より $A$ は実数 $r$ を用いて $A=rE$ と表される。これを $A^2+A=-E$ に代入すると$$r^2+r+1=0$$となるが、左辺は$${(r+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$$であり矛盾する。したがって $a+d+1=0$、すなわち $a+d=-1$ である。さらに(1)から $(ad-bc-1)E=O$ となるので $ad-bc=1$ である。

よって問題の2次方程式は$$x^2+x+1=0$$となる。その解 $x$ は $x\mathrm{\ne }1$ であり、$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$$だから $x^3=1$ である。