北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) 漸化式 $$4a_{n+1}^3+3a_{n+1}-a_n=0$$ より，$k\geqq 1$ について $4a_k^3=a_{k-1}-3a_k$ が成り立つ。

まず $n=1$ のとき $S_1=a_1^3$ であり，$$a_1^3={\displaystyle \frac{a_0-3a_1}{4}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}_1+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$$ なので，主張は成り立つ。

次に，ある自然数 $n$ で $$S_n=-{\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$$ が成り立つと仮定する。このとき $$S_{n+1}=S_n+3^n{a}_{n+1}^3$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{n+1}}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0+3^n\cdot {\displaystyle \frac{a_n-3a_{n+1}}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{3^{n+1}}{4}}{a}_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0}\end{array}$$となる。したがって $n+1$ でも成り立つ。よって数学的帰納法により $$S_n=-{\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$$ がすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2) まず $f$ の三倍の関係を確認する。$u=e^x$ とおくと $$f(x)={\displaystyle \frac{u-u^{-1}}{2}}$$ である。計算すると $$4f(x{)}^3+3f(x)={\displaystyle \frac{u^3-u^{-3}}{2}}=f(3x)$$ である。

漸化式は $a_n=4a_{n+1}^3+3a_{n+1}$ と書ける。ここで $a_n=f(x_n)$，$a_{n+1}=f(x_{n+1})$ だから $f(x_n)=f(3x_{n+1})$ である。また $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}>0$$ なので，$f$ は単調増加である。したがって $x_n=3x_{n+1}$ である。これを繰り返して $$x_n={\displaystyle \frac{x_0}{3^n}}$$ を得る。

(3) (1) より $$S_n=-{\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$$ である。また (2) より $$a_n=f\left({\displaystyle \frac{x_0}{3^n}}\right)$$ である。まず $x_0=0$ のときは (2) よりすべての $x_n$ と $a_n$ が0であり、$S_n=0$ なので結論は成り立つ。

次に $x_0\mathrm{\ne }0$ とする。このとき$$3^n{a}_n=3^{n}f\left({\displaystyle \frac{x_0}{3^n}}\right)=x_0\cdot {\displaystyle \frac{f(x_0\mathrm{/}{3}^n)}{x_0\mathrm{/}{3}^n}}$$である。$u\to 0$ のとき $${\displaystyle \frac{f(u)}{u}}\to f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$$ であるから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{3}^n{a}_n=x_0$$ となる。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=-{\displaystyle \frac{x_0}{4}}+{\displaystyle \frac{a_0}{4}}={\displaystyle \frac{f(x_0)-x_0}{4}}$$である。したがって $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{f(x_0)-x_0}{4}}}$$ である。

(1) は目標式を移項した量が漸化式によって不変になることを示す。(2)は $y_n=e^{x_n}>0$ とおき、指数式を直接比較する。単調性から $y_n=y_{n+1}^3$ を得れば、対数を取って $x_n=x_0\mathrm{/}{3}^n$ が出る。

(1) $$R_n=4S_n+3^n{a}_n-a_0$$とおく。漸化式より $4a_1^3+3a_1-a_0=0$ だから $R_1=0$ である。ある自然数 $n$ について $R_n=0$ と仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R_{n+1}-R_n}& {\displaystyle =4\cdot 3^n{a}_{n+1}^3+3^{n+1}{a}_{n+1}-3^n{a}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3^n(4a_{n+1}^3+3a_{n+1}-a_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$よって帰納法により $R_n=0$ であり、$$S_n=-{\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$$を得る。

(2) $y_n=e^{x_n}>0$ とおくと$$2a_n=y_n-y_n^{-1}$$である。また直接展開すれば$$4{\left({\displaystyle \frac{y-y^{-1}}{2}}\right)}^3+3\left({\displaystyle \frac{y-y^{-1}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{y^3-y^{-3}}{2}}$$である。したがって漸化式から$$y_n-y_n^{-1}=y_{n+1}^3-y_{n+1}^{-3}\mathrm{.}$$正の範囲で $y-y^{-1}$ は狭義単調増加だから$$y_n=y_{n+1}^3\mathrm{.}$$両辺の自然対数を取ると $x_n=3x_{n+1}$ である。よって$$x_n={\displaystyle \frac{x_0}{3^n}}\mathrm{.}$$(3) (1)、(2)より$$S_n=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{3}^{n}f\left({\displaystyle \frac{x_0}{3^n}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{4}}f(x_0)\mathrm{.}$$$u\to 0$ のとき$${\displaystyle \frac{f(u)}{u}}⟶f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$$だから$$3^{n}f\left({\displaystyle \frac{x_0}{3^n}}\right)⟶x_0\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{f(x_0)-x_0}{4}}}$$である。