北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-6ax=6x(x-a),g^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-6a=6(x-a)$$ である。$x=t$ における接線が平行であるための条件は、傾きが等しいこと、すなわち $6t(t-a)=6(t-a)$ である。よって $(t-a)(t-1)=0$ となる。$a>1$ であるから、求める値は $t=1,t=a$ である。

(2)
まず $t=a$ の接線を求める。このとき傾きは0であり、$f(a)=3-3a,g(a)=0$ だから、2本の接線は $y=3-3a,y=0$ である。これらは水平線であり、間の縦の距離は $0-(3-3a)=3(a-1)$ である。

次に $t=1$ の接線を考える。傾きはいずれも $$f^{\mathrm{\prime }}(1)=g^{\mathrm{\prime }}(1)=6(1-a)=-6(a-1)$$ である。2本の接線は平行であり、同じ $x$ における縦の差は一定で、$g(1)-f(1)$ に等しい。ここで $$f(1)=a^3-6a+5,g(1)=3a^2-6a+3$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(1)-f(1)}& {\displaystyle =3a^2-6a+3-(a^3-6a+5)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-a^3+3a^2-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(a-1)(a^2-2a-2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、斜線2本を同じ高さで切ったときの横の距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }g(1)-f(1)\mathrm{\mid }}{6(a-1)}}$ である。なぜなら、傾きの絶対値が $6(a-1)$ なので、縦の差を傾きの絶対値で割れば横の差になるからである。

よって4本の接線が囲む平行四辺形の面積 $S$ は $$S=3(a-1)\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }g(1)-f(1)\mathrm{\mid }}{6(a-1)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }g(1)-f(1)\mathrm{\mid }$$ である。すなわち $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }(a-1)(a^2-2a-2)\mathrm{\mid }$$ である。

(3) $1<a\leqq 3$ で $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }(a-1)(a^2-2a-2)\mathrm{\mid }$$ を最大化する。$a-1>0$ なので、符号は $a^2-2a-2$ によって決まる。方程式 $a^2-2a-2=0$ の正の根は $a=1+\sqrt{3}$ である。

まず $1<a\leqq 1+\sqrt{3}$ では $a^2-2a-2\leqq 0$ だから $$S=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-1)(a^2-2a-2)$$ である。$$h(a)=(a-1)(a^2-2a-2)=a^3-3a^2+2$$ とおくと $h^{\mathrm{\prime }}(a)=3a(a-2)$ である。したがって $h(a)$ は $1<a<2$ で減少し、$2<a<1+\sqrt{3}$ で増加する。よって $-h(a)$ は $a=2$ で最大となり、$$S=-{\displaystyle \frac{1}{2}}h(2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(8-12+2)=1$$ である。

次に $1+\sqrt{3}\leqq a\leqq 3$ では $S={\displaystyle \frac{1}{2}}h(a)$ である。この範囲では $a>2$ なので $h^{\mathrm{\prime }}(a)>0$、したがって $S$ は増加する。最大は $a=3$ で、$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}h(3)={\displaystyle \frac{1}{2}}(27-27+2)=1$$ である。

以上より、$S$ の最大値は $1$ であり、そのときの $a$ は $a=2,a=3$ である。

4本の接線を方程式で書き、水平な2直線と斜めの2直線の交点を頂点とする平行四辺形を考える。一方の辺では高さが $3(a-1)$ だけ違い、もう一方は同じ水平線上で切片差に応じてずれる。二つの辺の成分から面積を計算する。最大化では微分せず、面積を決める3次式が $-2$ 以上 $2$ 以下であることを二つの因数分解で示す。

(1)
接線の傾きが等しい条件は$$6t(t-a)=6(t-a)$$である。よって $(t-a)(t-1)=0$ となり、$a>1$ だから$$t=1,t=a$$を得る。

(2)
$t=a$ における2本の接線は$$y=3-3a,y=0$$である。$t=1$ における2本の接線の共通の傾きを$$p=-6(a-1)$$とおくと、その方程式は$$y=p(x-1)+f(1),y=p(x-1)+g(1)$$である。

一つの斜線と二つの水平線との交点を結ぶ辺では、高さの差が $3(a-1)$ である。したがってその辺ベクトルは、向きを適当に選べば$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},3(a-1))$$と書ける。また、同じ水平線上で二つの斜線との交点を結ぶ辺の水平成分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{f(1)-g(1)}{p}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a-1)(a^2-2a-2)}{-6(a-1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{a^2-2a-2}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$この辺は水平なので、平行四辺形の面積は$$S=3(a-1)\mid {\displaystyle \frac{a^2-2a-2}{6}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid (a-1)(a^2-2a-2)\mid \mathrm{.}$$(3)$$h(a)=(a-1)(a^2-2a-2)=a^3-3a^2+2$$とおく。$1<a\leqq 3$ において$$2-h(a)=a^2(3-a)\geqq 0,$$$$h(a)+2=(a-2{)}^2(a+1)\geqq 0.$$よって $-2\leqq h(a)\leqq 2$ であり、$S\leqq 1$ である。前者の等号 $h(a)=2$ は $a=3$、後者の等号 $h(a)=-2$ は $a=2$ で成り立つ。したがって最大値は $1$、そのとき$$a=2,a=3$$である。