北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
単位円上の点 $(x,y)$ が $(X,Y)$ に移るとすると$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$X=ax-by,Y=bx+ay\mathrm{.}$$二乗して加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X^2+Y^2}& {\displaystyle =(ax-by{)}^2+(bx+ay{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2+b^2)(x^2+y^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+b^2\mathrm{.}}\end{array}$$逆に、この円周上の $(X,Y)$ に対して$$x={\displaystyle \frac{aX+bY}{a^2+b^2}},y={\displaystyle \frac{-bX+aY}{a^2+b^2}}$$とおけば $x^2+y^2=1$ となる。よって$$C:X^2+Y^2=a^2+b^2\mathrm{.}$$(2)
$C$ の半径は $\sqrt{a^2+b^2}$ だから$$S=\pi (a^2+b^2)\mathrm{.}$$条件 $a+b=2$ のもとで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+b^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+{\displaystyle \frac{(a-b{)}^2}{2}}\geqq 2.}\end{array}$$等号は $a=b=1$ で成立する。したがって$$S_{\min }=2\pi \mathrm{.}$$

$r=\sqrt{a^2+b^2}$ として $a=r\cos \varphi ,b=r\sin \varphi$ と表す。変換が角 $\varphi$ の回転と倍率 $r$ の拡大の合成であることを直接読み、円と面積を求める。制約には平方の不等式を使う。

(1) $$r=\sqrt{a^2+b^2}>0$$とおく。ある角 $\varphi$ により$$a=r\cos \varphi ,b=r\sin \varphi$$と表せる。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle =r(x\cos \varphi -y\sin \varphi ),}\\ {\displaystyle Y}& {\displaystyle =r(x\sin \varphi +y\cos \varphi )\mathrm{.}}\end{array}$$括弧内は $(x,y)$ を角 $\varphi$ だけ回転した座標であり、その後に全ての長さを $r$ 倍している。したがって単位円は半径 $r$ の円へ移る。よって$$C:X^2+Y^2=r^2=a^2+b^2\mathrm{.}$$(2)
長さが $r$ 倍されるので面積は $r^2$ 倍され、$$S=\pi r^2=\pi (a^2+b^2)\mathrm{.}$$ここで$$(a-b{)}^2\geqq 0$$から$$2(a^2+b^2)\geqq (a+b{)}^2=4.$$したがって $a^2+b^2\geqq 2$ で、等号は $a=b=1$ のときに成立する。ゆえに$$S_{\min }=2\pi \mathrm{.}$$