北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
鉛直線の方向ベクトル $(0,1)$ は、この1次変換で $(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$ に移り、鉛直方向にはならない。したがって不変直線は $y=mx+b$ の形で調べればよい。

方向ベクトル $(1,m)$ を変換すると $({\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}m}{2}},{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}+5m}{2}})$ である。これが $(1,m)$ と平行であるためには $-\sqrt{3}+5m=m(3-\sqrt{3}m)$ が必要であり、整理して $\sqrt{3}{m}^2+2m-\sqrt{3}=0$ を得る。よって $$m={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},m=-\sqrt{3}$$ である。

次に切片を調べる。点 $(0,b)$ を変換すると $(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}b,{\displaystyle \frac{5}{2}}b)$ である。 $$m={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ のとき、変換した点が同じ直線 $$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}+b$$ 上にある条件は $${\displaystyle \frac{5}{2}}b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}b+b={\displaystyle \frac{1}{2}}b$$ であるから、$b=0$ である。 $m=-\sqrt{3}$ のときは $${\displaystyle \frac{5}{2}}b=-\sqrt{3}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}b)+b$$ が任意の $b$ で成り立つ。したがって求める直線は $$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}},y=-\sqrt{3}x+b(b\text{ は任意の実数})$$ である。

(2)
与えられた1次変換の行列を $A$、原点中心の60度左回転の行列を $R$ とすると、合成変換は$$T=RA=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{2}}& -{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。変換後の点を $X,Y$、もとの円上の点を $x,y$ とすれば$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$であり、$$T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$だから $$x={\displaystyle \frac{X}{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y,y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}X+{\displaystyle \frac{1}{2}}Y$$ である。もとの点が単位円上にある条件 $x^2+y^2=1$ に代入すると、交差項が打ち消し合い、$${({\displaystyle \frac{X}{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y)}^2+{(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}X+{\displaystyle \frac{1}{2}}Y)}^2=1$$すなわち $${\displaystyle \frac{X^2}{9}}+Y^2=1$$ を得る。したがって概形は原点を中心とし、$X$ 軸方向の半径が $3$、$Y$ 軸方向の半径が $1$ の楕円である。

(1) は方向ベクトルが同じ直線上へ移る2方向を求め、各方向に直交する一次式が変換でどのように変わるかを調べて切片条件を決める。(2) は単位円を三角関数で媒介表示し、1次変換と回転を順に施して楕円の標準形を直接得る。

(1)
変換行列を $A$ とする。方向ベクトル$$u=(\sqrt{3},1),v=(1,-\sqrt{3})$$に対し$$Au=u,Av=3v$$である。したがって不変直線の方向候補はこの2方向だけである。

$u$ 方向の直線を$$x-\sqrt{3}y=c$$と書く。点 $(x,y)$ の像を $(X,Y)$ とすると、直接計算して$$X-\sqrt{3}Y=3(x-\sqrt{3}y)$$である。同じ直線へ移るには $3c=c$ が必要なので $c=0$ である。よって$$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$$v$ 方向の直線は$$\sqrt{3}x+y=c$$と書ける。このとき$$\sqrt{3}X+Y=\sqrt{3}x+y$$なので、任意の実数 $c$ について同じ直線へ移る。したがって$$y=-\sqrt{3}x+c$$もすべて不変である。

(2)
単位円上の点を$$(x,y)=(\cos t,\sin t)$$とする。1次変換の後に ${60}^{\circ }$ 左回転すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}\cos t-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\sin t=3\cos (t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}),}\\ {\displaystyle Y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cos t+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin t=\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$${\displaystyle \frac{X^2}{9}}+Y^2=1.$$これは原点中心、$X$ 軸方向の半径3、$Y$ 軸方向の半径1の楕円である。