北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
直線 $$y\cos \alpha -x\sin \alpha =0$$ は、$y=x\tan \alpha$ と書けるので、原点を通り $x$ 軸の正の向きとなす角が $\alpha$ の直線である。この直線方向の単位ベクトルを $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ とし、それに垂直な単位ベクトルを $(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$ とする。

点 $(x,y)$ をこの2方向に分けると、直線方向の成分はそのまま、垂直方向の成分は符号が反転する。計算すると、反射後の座標 $(X,Y)$ は $$X=x\cos 2\alpha +y\sin 2\alpha ,$$ $$Y=x\sin 2\alpha -y\cos 2\alpha$$ となる。したがって行列 $A$ は、第1行が $(\cos 2\alpha ,\sin 2\alpha )$ 第2行が $(\sin 2\alpha ,-\cos 2\alpha )$ の行列である。

(2)
同様に、$l_2$ に関する対称移動を表す行列 $B$ は、第1行が $(\cos 2\beta ,\sin 2\beta )$ 第2行が $(\sin 2\beta ,-\cos 2\beta )$ の行列である。

積 $AB$ の各成分を計算する。第1行第1列成分は $$\cos 2\alpha \cos 2\beta +\sin 2\alpha \sin 2\beta =\cos 2(\alpha -\beta )$$ である。第1行第2列成分は $$\cos 2\alpha \sin 2\beta -\sin 2\alpha \cos 2\beta =-\sin 2(\alpha -\beta )$$ である。同様に、第2行第1列成分は $\sin 2(\alpha -\beta )$、第2行第2列成分は $\cos 2(\alpha -\beta )$ となる。 $\theta =\alpha -\beta$ より、$AB$ は第1行が $(\cos 2\theta ,-\sin 2\theta )$ 第2行が $(\sin 2\theta ,\cos 2\theta )$ の行列である。これは角 $2\theta$ の回転を表す行列である。

(3)
(2)より $AB$ は角 $2\theta$ の回転であるから、$(AB{)}^2$ は角 $4\theta$ の回転である。また順序を逆にした $BA$ は角 $-2\theta$ の回転である。

したがって $(AB{)}^2=BA$ が成り立つためには、2つの回転角が $2\pi$ の整数倍だけ異なればよい。すなわち $$4\theta -(-2\theta )=2k\pi$$ であり、$6\theta =2k\pi$ となる。よって $$\theta ={\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$$ である。条件 $0<\theta <\pi$ より $k=1,2$ だから $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。

角 $\alpha$ の直線をいったん $x$ 軸へ回し、$x$ 軸対称に移してから元へ戻す三段階で反射を表す。これにより $A=R(\alpha )DR(-\alpha )$ と分解できる。二つの反射の積では $DR(\gamma )D=R(-\gamma )$ を使って回転を一つにまとめ、最後は回転角を $2\pi$ の整数倍まで含めて比較する。

(1)
角 $\varphi$ の回転を表す行列を$$R(\varphi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$とする。角 $\alpha$ の直線に関する対称移動は、角 $-\alpha$ 回転してその直線を $x$ 軸に重ね、$D$ で $x$ 軸対称に移し、角 $\alpha$ 回転して戻す変換である。したがって$$A=R(\alpha )DR(-\alpha )=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
同様に $B=R(\beta )DR(-\beta )$ である。また$$DR(\gamma )D=R(-\gamma )$$となるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle AB}& {\displaystyle =R(\alpha )DR(\beta -\alpha )DR(-\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =R(\alpha )R(\alpha -\beta )R(-\beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =R\{2(\alpha -\beta )\}=R(2\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$$AB=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)
同じ計算で $BA=R(-2\theta )$ であり、$(AB{)}^2=R(4\theta )$ である。二つの回転が等しいための条件は$$4\theta -(-2\theta )=2k\pi$$である。したがって $$\theta ={\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$$ となり、$0<\theta <\pi$ より$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$である。