北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
点 $P$ の $x$ 座標を $s$ とする。$P\mathrm{\ne }O$ より $s\mathrm{\ne }0$ であり$$P=(s,a{s}^4+a^{2}s),f^{\mathrm{\prime }}(s)=4a{s}^3+a^2$$である。接線の $y$ 切片は$$a{s}^4+a^{2}s-(4a{s}^3+a^2)s=-3a{s}^4$$だから$$OQ=3\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{s}^4\mathrm{.}$$一方、$R=(s,a^{2}s)$ なので$$PR=\mathrm{\mid }a{s}^4+a^{2}s-a^{2}s\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{s}^4\mathrm{.}$$よって$$OQ:PR=3:1$$である。

(2)
$a>0$ では $f(x)$ は上に限りなく大きくなるので、最大値をもたない。したがって $a<0$ である。最大点の $x$ 座標を $t$ とすると$$f^{\mathrm{\prime }}(t)=a(4t^3+a)=0$$より$$a=-4t^3,t>0.$$実際、導関数の符号は $t$ の前後で正から負へ変わる。最大値を $M$ とすると$$M=f(t)=12t^7\mathrm{.}$$条件より曲線と $y=x$ の交点は $(M,M)$ だから $f(M)=M$ である。代入して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(M)-M}& {\displaystyle =-12t^7\{6912t^{24}-16t^6+1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-12t^7(12t^6-1{)}^2(48t^{12}+8t^6+1)\mathrm{.}}\end{array}$$$t>0$ かつ最後の因子は正なので$$12t^6=1,t^3={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$したがって$$a=-4t^3=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$である。

(1) では $f(x)=a{x}^4+a^{2}x$ を4次項と直線項に分け、接線の切片と直線項との差を比較する。(2)では最大値が存在することから $a=-c$, $c>0$ とし、最大点と最大値を $c$ で表す。交点条件を $c^2$ の4次式へ整理し、正の因子を分離して唯一の値を決める。

(1)
$P$ の $x$ 座標を $s\mathrm{\ne }0$ とする。4次関数 $y=a{x}^4$ の $x=s$ における接線の $y$ 切片は$$a{s}^4-4a{s}^4=-3a{s}^4$$である。直線項 $a^{2}x$ を加えると接線の傾きは $a^2$ 増えるが、その $y$ 切片は変わらない。したがって$$OQ=3\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{s}^4\mathrm{.}$$また、点 $P$ と直線 $y=a^{2}x$ の鉛直方向の差は4次項だけだから$$PR=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{s}^4\mathrm{.}$$よって $OQ:PR=3:1$ である。

(2)
$a=-c$, $c>0$ とおくと$$f(x)=-c{x}^4+c^{2}x\mathrm{.}$$最大点を $x=t$ とすれば$$-4c{t}^3+c^2=0$$より $t^3=c\mathrm{/}4$ である。最大値 $M$ は$$M=-c{t}^4+c^{2}t={\displaystyle \frac{3}{4}}{c}^{2}t>0.$$条件 $f(M)=M$ を $M>0$ で割ると$$-c{M}^3+c^2=1.$$ここで$$M^3={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}{c}^{2}t\right)}^3={\displaystyle \frac{27}{256}}{c}^7$$だから$$27c^8-256c^2+256=0.$$$u=c^2>0$ とおくと$$27u^4-256u+256=(3u-4{)}^2(3u^2+8u+16)=0.$$第2因子は正であるから $u=4\mathrm{/}3$、したがって $c=2\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。ゆえに$$a=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$となる。