北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
放物線を $y=a{x}^2-\sqrt{3}x$ とする。$x=s$ における接線の傾きは $2as-\sqrt{3}$ であり，接点の座標は $(s,a{s}^2-\sqrt{3}s)$ である。接線の式は $$y=(2as-\sqrt{3})(x-s)+a{s}^2-\sqrt{3}s$$ すなわち $y=(2as-\sqrt{3})x-a{s}^2$ である。

これがすべての $a>0$ について同じ直線になるには，係数 $2as$ と $-a{s}^2$ がどちらも $a$ によらない必要がある。したがって $s=0$ である。このとき接点は $A=(0,0)$ であり，接線は $l:y=-\sqrt{3}x$ である。

(2) $P$ の $x$ 座標を $t$ とおく。$P\mathrm{\ne }A$ なので $t\mathrm{\ne }0$ であり，$P=(t,a{t}^2-\sqrt{3}t)$ である。$P$ における接線は $y=(2at-\sqrt{3})x-a{t}^2$ である。この接線と $l:y=-\sqrt{3}x$ の交点を $Q$ とすると $$-\sqrt{3}x=(2at-\sqrt{3})x-a{t}^2$$ より $$x={\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。よって $$Q=({\displaystyle \frac{t}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}t}{2}})$$ である。

ここで$$\overrightarrow{AQ}=({\displaystyle \frac{t}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}t}{2}}),\overrightarrow{QP}=({\displaystyle \frac{t}{2}},a{t}^2)$$である。$u=at$ とおくと，$$\overrightarrow{AQ}\cdot \overrightarrow{QP}={\displaystyle \frac{t^2}{4}}(1-2\sqrt{3}u)$$ であり，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }}{2}}\sqrt{1+4u^2}$$である。なす角が ${30}^{\circ }$ なので $${\displaystyle \frac{1-2\sqrt{3}u}{2\sqrt{1+4u^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。これを解く。両辺を整理して $$1-2\sqrt{3}u=\sqrt{3}\sqrt{1+4u^2}$$ となる。両辺を2乗すると $$1-4\sqrt{3}u+12u^2=3+12u^2$$ であるから $$u=-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}$$ を得る。すなわち $$at=-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}$$ である。特に $a>0$ だから $t<0$ である。

次に面積を計算する。$t<0$ なので，閉じた図形は $t\leqq x\leqq 0$ にある。$$t\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{t}{2}}$$ では下側の直線は $P$ における接線であり，差は $$(a{x}^2-\sqrt{3}x)-\{(2at-\sqrt{3})x-a{t}^2\}=a(x-t{)}^2$$ である。$${\displaystyle \frac{t}{2}}\leqq x\leqq 0$$ では下側の直線は $l$ であり，差は $$(a{x}^2-\sqrt{3}x)-(-\sqrt{3}x)=a{x}^2$$ である。したがって面積 $S$ は $$S={\int }_t^{t\mathrm{/}2}a(x-t{)}^{2}dx+{\int }_{t\mathrm{/}2}^{0}a{x}^{2}dx$$ である。計算すると $$S=-{\displaystyle \frac{a{t}^3}{12}}$$ となる。

ここで $$t={\displaystyle \frac{u}{a}}$$，$u=-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}$ だから $$S=-{\displaystyle \frac{u^3}{12a^2}}={\displaystyle \frac{1}{288\sqrt{3}{a}^2}}$$ である。これが $\sqrt{3}$ に等しいので $${\displaystyle \frac{1}{288\sqrt{3}{a}^2}}=\sqrt{3}$$ より $a^2={\displaystyle \frac{1}{864}}$ を得る。$a>0$ だから $$a={\displaystyle \frac{1}{12\sqrt{6}}}$$ である。

(1) の共通接線を求めた後、$P$の$x$座標を$t$、積$at$を$u$と置く。角度条件は2方向の傾きに対する角の公式で$u$だけの方程式にする。面積も$x=tX$で相似変換すると$u$と$a$だけで表せる。

(1)

$x=s$における接線は$$y=(2as-\sqrt{3})x-a{s}^2\mathrm{.}$$これがすべての$a>0$で同じ直線になるには$s=0$でなければならない。よって$$A=(0,0),l:y=-\sqrt{3}x\mathrm{.}$$(2)

$P$の$x$座標を$t\text{neqq}0$と置く。$P$での接線と$l$の交点は$$Q=({\displaystyle \frac{t}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}t}{2}})$$である。$u=at$と置けば$$\overrightarrow{AQ}={\displaystyle \frac{t}{2}}(1,-\sqrt{3}),\overrightarrow{QP}={\displaystyle \frac{t}{2}}(1,2u)\mathrm{.}$$2方向の傾きは$-\sqrt{3}$と$2u$である。なす角が${30}^{\circ }$であり、内積が正であることも用いると$${\displaystyle \frac{2u+\sqrt{3}}{1-2\sqrt{3}u}}=\tan {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$したがって$$u=-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$特に$a>0$より$t<0$である。

面積を相似変数で求める。$x=tX$と置くと、$t\leqq x\leqq t\mathrm{/}2$は$1\geqq X\geqq 1\mathrm{/}2$、$t\mathrm{/}2\leqq x\leqq 0$は$1\mathrm{/}2\geqq X\geqq 0$に対応する。曲線と2本の接線との差を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_t^{t\mathrm{/}2}a(x-t{)}^{2}dx+{\int }_{t\mathrm{/}2}^{0}a{x}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{a{t}^3}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$$t=u\mathrm{/}a$を代入して$$S=-{\displaystyle \frac{u^3}{12a^2}}={\displaystyle \frac{1}{288\sqrt{3}{a}^2}}\mathrm{.}$$これが$\sqrt{3}$に等しいので$$a^2={\displaystyle \frac{1}{864}}\mathrm{.}$$$a>0$より$$a={\displaystyle \frac{1}{12\sqrt{6}}}\mathrm{.}$$