北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
点 $P$ を $(x,y)$ とする。曲線 $y=f(x)$ の接線の傾きは ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ である。一方、点 $P(x,y)$ と点 $Q(1,0)$ を結ぶ直線の傾きは $${\displaystyle \frac{y-0}{x-1}}={\displaystyle \frac{y}{x-1}}$$ である。

この2直線が直交するので、傾きの積は $-1$ である。したがって $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}\cdot {\displaystyle \frac{y}{x-1}}=-1$$ となり、整理して $$y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1-x$$ を得る。

(2)
(1)の微分方程式を積分する。 $$y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1-x$$ より $ydy=(1-x)dx$ と見て積分すると $${\displaystyle \frac{y^2}{2}}=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C$$ である。両辺を2倍して整理すると $x^2-2x+y^2=C^{\mathrm{\prime }}$ すなわち $(x-1{)}^2+y^2=R^2$ と書ける。したがって曲線 $C$ は中心 $(1,0)$、半径 $R$ の円である。

直線 $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+5$ は $2x+3y-15=0$ と書ける。この直線と円が接するためには、中心 $(1,0)$ から直線までの距離が半径 $R$ に等しければよい。よって$$R={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 1+3\cdot 0-15\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+3^2}}}={\displaystyle \frac{13}{\sqrt{13}}}=\sqrt{13}$$である。したがって求める曲線は $(x-1{)}^2+y^2=13$ である。

接線方向$(1,y^{\mathrm{\prime }})$と半径方向$(x-1,y)$が直交する条件を内積で書く。この式は点$Q$からの距離の2乗の微分が0であることを示すため、曲線が$Q$中心の円であると直ちに分かる。接線条件は中心と直線の距離で処理する。

(1)

点$P(x,y)$における接線の方向は$(1,y^{\mathrm{\prime }})$、$Q(1,0)$から$P$へ向かう方向は$(x-1,y)$である。両者が直交するので$$(1,y^{\mathrm{\prime }})\cdot (x-1,y)=0.$$したがって$$y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=1-x$$である。この書き方なら、直線$PQ$が鉛直になる位置でも傾きの割り算を必要としない。

(2)

(1) の式から$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(x-1{)}^2+y^2\}=2(x-1)+2y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0.$$よって曲線上では$$(x-1{)}^2+y^2=R^2$$が一定であり、$C$は中心$Q(1,0)$の円である。

与えられた直線は$$2x+3y-15=0$$である。円がこの直線に接するための半径は、中心$Q$から直線までの距離だから$$R={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 1+3\cdot 0-15\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+3^2}}}=\sqrt{13}\mathrm{.}$$したがって$$(x-1{)}^2+y^2=13$$である。