北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f(x)=6x^2-x^3$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x-3x^2$ である。したがって接線の傾きは $g(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)=12a-3a^2$ である。

接線は点 $(a,f(a))$ を通るので $y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$ と書ける。よって切片は $h(a)=f(a)-a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$ であり，$$h(a)=(6a^2-a^3)-a(12a-3a^2)=2a^3-6a^2$$ である。

(2)
接線と曲線の差を計算する。 $$f(x)-\{g(a)x+h(a)\}=6x^2-x^3-(12a-3a^2)x-(2a^3-6a^2)$$ である。これは $x=a$ で接しているため $(x-a{)}^2$ を因数にもつ。実際に整理すると $$f(x)-\{g(a)x+h(a)\}=(x-a{)}^2(6-2a-x)$$ となる。 $(x-a{)}^2\geqq 0$ であるから，$x\leqq a$ のすべての $x$ で不等式が成り立つためには $$6-2a-x\geqq 0(x\leqq a)$$ であればよい。左辺 $6-2a-x$ は $x$ が大きいほど小さいので，$x\leqq a$ で最小になるのは $x=a$ のときである。したがって $6-3a\geqq 0$ が必要十分である。よって $a\leqq 2$ である。

(3)
接線と曲線の共有点は $(x-a{)}^2(6-2a-x)=0$ から決まる。接点 $x=a$ 以外の共有点をもたないためには $6-2a=a$ でなければならない。したがって $a=2$ である。

このとき $g(2)=12,h(2)=-8$ なので，接線は $y=12x-8$ である。曲線との差は $f(x)-(12x-8)=-(x-2{)}^3$ である。$0\leqq x\leqq 2$ ではこの値は0以上であり，$y$ 軸，曲線，接線で囲まれる図形はこの区間にある。よって面積は $${\int }_0^2\{f(x)-(12x-8)\}dx={\int }_0^2-(x-2{)}^{3}dx$$ である。計算して $${[-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^4}{4}}]}_0^2=4$$ を得る。求める面積は $4$ である。

三次式なので、$x=a+u$と置けば接線との差を$u$の式として正確に展開できる。(2)は$u\leqq 0$での符号、(3)は接点の重なりが三重になる条件から決め、面積も$u=2-x$で一度に積分する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x-3x^2$$より$$g(a)=12a-3a^2\mathrm{.}$$また$h(a)=f(a)-a{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$だから$$h(a)=2a^3-6a^2\mathrm{.}$$(2)

$x=a+u$と置く。三次式を展開すると$$f(a+u)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)u+(6-3a)u^2-u^3\mathrm{.}$$初めの2項は接線の値なので、曲線と接線の差は$$u^2(6-3a-u)$$である。$x\leqq a$は$u\leqq 0$に対応する。この範囲で差が常に0以上となるための必要十分条件は、最大の$u=0$で$$6-3a\geqq 0$$となることである。したがって$$a\leqq 2\mathrm{.}$$(3)

接線と曲線の共有点は$$u^2(6-3a-u)=0$$から決まる。接点$u=0$以外の共有点をもたないためには、残る根$u=6-3a$も0でなければならない。よって$$a=2\mathrm{.}$$このとき接線は$y=12x-8$で、曲線との差は$$f(x)-(12x-8)=(2-x{)}^3\mathrm{.}$$囲まれた部分は$0\leqq x\leqq 2$にあるから、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^2(2-x{)}^{3}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{(2-x{)}^4}{4}}]}_0^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4.}\end{array}$$したがって求める面積は$$4$$である。