北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
$t={\log }_{3}x$ とおく。定義より $x>0$, $x\mathrm{\ne }1$ であるから $t\mathrm{\ne }0$ である。また$${\log }_{5}x={\displaystyle \frac{{\log }_{3}x}{{\log }_{3}5}}={\displaystyle \frac{t}{{\log }_{3}5}}$$だから、(I)は$${\displaystyle \frac{t-(2{\log }_{3}5-1)}{t}}<0$$となる。ここで$$2{\log }_{3}5-1={\log }_3{\displaystyle \frac{25}{3}}>0$$である。分子と分母の符号が反対となる条件は$$0<t<2{\log }_{3}5-1$$であるから$$1<x<{\displaystyle \frac{25}{3}}$$を得る。

(2)
(II)の両辺は$${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{a{\log }_{3}2}=2^{-a},{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x(x-a+1)}=2^{-x(x-a+1)}$$と書ける。底 $2$ は1より大きいので、(II)は$$-a<-x(x-a+1)$$と同値である。これを整理すると$$a(1+x)>x(1+x)\mathrm{.}$$(1)の解では $1+x>0$ だから、結局 $a>x$ と同値である。

すべての $x$ が $1<x<25\mathrm{/}3$ を動くとき常に $a>x$ となるための必要十分条件は$$a\geqq {\displaystyle \frac{25}{3}}$$である。上端 $25\mathrm{/}3$ は解区間に含まれないため、等号の場合も条件を満たす。

(I)の左辺を自然対数で通分すると、分子と分母がそれぞれ $x=25\mathrm{/}3$ と $x=1$ で符号を変える一つの分数になる。(II)は指数関数の単調性により各 $x$ についての条件 $a>x$ に直し、開区間の上限を用いて全称条件を判定する。

(1)
自然対数を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{3}x}}-{\displaystyle \frac{2}{{\log }_{5}x}}}& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{\log 3}{\log x}}-{\displaystyle \frac{2\log 5}{\log x}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\log x+\log 3-2\log 5}{\log x}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\log (3x\mathrm{/}25)}{\log x}}\mathrm{.}}\end{array}$$定義域は $x>0$, $x\mathrm{\ne }1$ である。$25\mathrm{/}3>1$ なので、分子と分母の符号が反対になるのは$$1<x<{\displaystyle \frac{25}{3}}$$の場合に限る。

(2)
(II)を底2の指数で書けば$$2^{-a}<2^{-x(x-a+1)}\mathrm{.}$$したがって$$a>x(x-a+1)⟺(1+x)(a-x)>0.$$(I)の解では $x>1$ だから $1+x>0$ であり、(II)は $a>x$ と同値である。

ここで $1<x<25\mathrm{/}3$ の上限は $25\mathrm{/}3$ で、上端自身は含まれない。よって区間内のすべての $x$ より $a$ が大きくなる条件は$$a\geqq {\displaystyle \frac{25}{3}}$$である。