北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$u=\theta \mathrm{/}2$ とおく。$0<u<\pi \mathrm{/}2$ より $\sin u\mathrm{\ne }0$ である。5倍角公式から$${\displaystyle \frac{\sin 5u}{\sin u}}=16{\cos }^{4}u-12{\cos }^{2}u+1$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\theta )}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(16{\cos }^{4}u-12{\cos }^{2}u+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8{\cos }^{4}u-6{\cos }^{2}u\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $${\cos }^{2}u=(1+\cos \theta )\mathrm{/}2$$ を代入すると$$f(\theta )=2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1.$$(2)
$v=\cos \theta$ とおくと $-1<v<1$ である。交点条件は$$a(v+1)=2v^2+v-1=(v+1)(2v-1)\mathrm{.}$$$v+1>0$ だから$$a=2v-1.$$$-1<v<1$ の像は$$-3<a<1$$である。

等差数列状の角をもつ正弦の和の公式から、与えられた商を $1+2\cos \theta +2\cos 2\theta$ と表す。これにより $f(\theta )=\cos \theta +\cos 2\theta$ が直ちに得られる。(2)は2つの式の差を $(\cos \theta +1)(2\cos \theta -1-a)$ と因数分解し、定義域で第1因子が正であることを使う。

(1)
三角関数の和の公式より$$1+2\cos \theta +2\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{\sin (5\theta \mathrm{/}2)}{\sin (\theta \mathrm{/}2)}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\theta )}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+2\cos \theta +2\cos 2\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos \theta +\cos 2\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1.}\end{array}$$(2)
交点では$$2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1-a(\cos \theta +1)=0.$$左辺は$$(\cos \theta +1)(2\cos \theta -1-a)$$と因数分解できる。$0<\theta <\pi$ では $\cos \theta +1>0$ だから$$a=2\cos \theta -1.$$$\cos \theta$ は開区間 $(-1,1)$ を動くので、求める範囲は$$-3<a<1$$である。