北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $P=(x,y)$ とする。すると $$Q=({\displaystyle \frac{4x+3y}{3}},{\displaystyle \frac{-7x-6y}{3}})$$ である。原点，$P$，$Q$ が同一直線上にあるためには，2つのベクトル $(x,y)$，$Q$ の向きが平行であればよい。したがって $$x\cdot {\displaystyle \frac{-7x-6y}{3}}-y\cdot {\displaystyle \frac{4x+3y}{3}}=0$$ である。整理すると $7x^2+10xy+3y^2=0$ となり，$(x+y)(7x+3y)=0$ である。

まず $x+y=0$，すなわち $y=-x$ の場合，単位円上にあるので $2x^2=1$ である。よって$$P=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$である。

次に $7x+3y=0$，すなわち $y=-{\displaystyle \frac{7}{3}}x$ の場合，単位円上にあるので $$x^2+{\displaystyle \frac{49}{9}}{x}^2=1$$ である。したがって$$P=({\displaystyle \frac{3}{\sqrt{58}}},-{\displaystyle \frac{7}{\sqrt{58}}}),(-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{58}}},{\displaystyle \frac{7}{\sqrt{58}}})$$である。

以上が求める点である。

(2)
次の2つのベクトルを用いる。$$u=\left(\begin{array}{c}-3\\ 7\end{array}\right),v=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$$直接計算すると $$Au=-u,Av={\displaystyle \frac{1}{3}}v$$ である。また$$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=u-5v$$である。したがって，$A$ を $n$ 回かけると$$A^n\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=(-1{)}^{n}u-5{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n}v$$となる。成分で書けば$$A^n\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{5}{3^n}}\\ 7(-1{)}^n-{\displaystyle \frac{5}{3^n}}\end{array}\right)$$である。よって求める点は $(-3(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{5}{3^n}},7(-1{)}^n-{\displaystyle \frac{5}{3^n}})$ である。

(1) は$P=(x,y)$の傾き$t=y\mathrm{/}x$を用いて、$AP$が同じ傾きをもつ条件を2次方程式にする。(2)は行列の直接計算から$3A^2+2A-I=O$を確認し、像の各成分が満たす2項前までの漸化式を解く。

(1)

$P=(x,y)$とする。$x=0$なら$P=(0,\pm 1)$だが、その像は$P$と平行でない。よって$x\text{neqq}0$として$$t={\displaystyle \frac{y}{x}}$$と置く。

$P$の像は$$Q={\displaystyle \frac{x}{3}}(4+3t,-7-6t)$$である。$P$と$Q$が原点を通る同一直線上にある条件は、$Q$の傾きも$t$になることである。したがって$${\displaystyle \frac{-7-6t}{4+3t}}=t$$より$$3t^2+10t+7=0.$$これを解くと$$t=-1,t=-{\displaystyle \frac{7}{3}}\mathrm{.}$$単位円との交点を取れば$$P=(\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},\mp {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),P=(\pm {\displaystyle \frac{3}{\sqrt{58}}},\mp {\displaystyle \frac{7}{\sqrt{58}}})$$である。ただし各複号は同順である。

(2)

行列を直接掛け合わせると$$3A^2+2A-I=O$$が成り立つ。そこで$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$$と置くと、各成分$z_n=x_n,y_n$は$$3z_{n+2}+2z_{n+1}-z_n=0$$を満たす。

初期値は$$(x_0,y_0)=(2,2),(x_1,y_1)=({\displaystyle \frac{14}{3}},-{\displaystyle \frac{26}{3}})$$である。漸化式の解を$z_n={\lambda }^n$の形で探すと$$3{\lambda }^2+2\lambda -1=0,\lambda =-1,{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$初期値を合わせると$$x_n=-3(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{5}{3^n}},y_n=7(-1{)}^n-{\displaystyle \frac{5}{3^n}}\mathrm{.}$$したがって求める像は$$(-3(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{5}{3^n}},7(-1{)}^n-{\displaystyle \frac{5}{3^n}})$$である。