北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $n=1$ のとき $2^2=4>1\cdot 2+1=3$ であり、$n=2$ のとき $2^3=8>2\cdot 3+1=7$ である。

次に、ある $n\geqq 2$ で $2^{n+1}>n(n+1)+1$ が成り立つと仮定する。このとき $$2^{n+2}=2\cdot 2^{n+1}>2\{n(n+1)+1\}$$ である。ここで $$2\{n(n+1)+1\}-\{(n+1)(n+2)+1\}=2n^2+2n+2-(n^2+3n+3)$$ より $$2\{n(n+1)+1\}-\{(n+1)(n+2)+1\}=n^2-n-1$$ である。$n\geqq 2$ ならば $n^2-n-1\geqq 1$ なので $$2\{n(n+1)+1\}>(n+1)(n+2)+1$$ である。したがって $2^{n+2}>(n+1)(n+2)+1$ が従う。よって数学的帰納法により、任意の正の整数 $n$ について $2^{n+1}>n(n+1)+1$ が成り立つ。

(2)
条件を満たす正の整数 $m$ が $m\geqq n+1$ を満たすと仮定する。このとき $n\leqq m-1$ であるから $nm+1\leqq m(m-1)+1$ である。

一方、(1)を正の整数 $m-1$ に適用すると $2^m>(m-1)m+1$ となる。したがって $2^m>m(m-1)+1\geqq nm+1$ であり、これは条件 $2^m\leqq nm+1$ に反する。

よって条件を満たす $m$ は $1,2,\dots ,n$ の中に限られる。この集合には $n$ 個しか正の整数がないので、条件を満たす個数 $a_n$ について $a_n\leqq n$ が成り立つ。

(1) は小さい $n$ を直接確認し、$n\geqq 4$ では二項展開の両端3項ずつを取り出して下から評価する。(2) は条件を満たす $m\geqq n+1$ があると仮定し、(1)を $m-1$ に適用して矛盾を導く。

(1)
$n=1,2,3$ はそれぞれ直接計算して成立する。

$n\geqq 4$ では、二項展開$$2^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{}_{n+1}{\mathrm{C}}_k$$において、次数 $0,1,2,n-1,n,n+1$ の6項は互いに異なる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2^{n+1}}& {\displaystyle \geqq 2\{1+(n+1)+{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n^2+3n+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >n(n+1)+1.}\end{array}$$よってすべての正整数 $n$ で所要の不等式が成り立つ。

(2) $$2^m\leqq nm+1$$を満たす $m\geqq n+1$ があると仮定する。このとき $n\leqq m-1$ なので$$nm+1\leqq m(m-1)+1.$$一方、(1)を $m-1$ に用いると$$2^m>m(m-1)+1,$$矛盾する。よって条件を満たす $m$ は $1,2,\dots ,n$ の中にしかなく、その個数は$$a_n\leqq n$$である。