北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

ここでは $b(n)=2^n$ であるから $a_n=2^{2^n}+1$ である。示すべき式は $$a_0{a}_1\cdots a_n=2^{2^{n+1}}-1$$ である。

まず $n=1$ のとき $$a_0{a}_1=(2^1+1)(2^2+1)=3\cdot 5=15=2^4-1=2^{2^2}-1$$ となり成り立つ。

次に、ある $n\geqq 1$ で $$a_0{a}_1\cdots a_n=2^{2^{n+1}}-1$$ が成り立つと仮定する。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_0{a}_1\cdots a_n{a}_{n+1}}& {\displaystyle =(2^{2^{n+1}}-1)(2^{2^{n+1}}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{2^{n+1}}{)}^2-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{2^{n+2}}-1}\end{array}$$である。したがって数学的帰納法により、すべての $n\geqq 1$ について $$a_0{a}_1\cdots a_n=2^{b(n+1)}-1$$ が成り立つ。

(2)

(1) より $$a_0{a}_1\cdots a_n=2^{2^{n+1}}-1$$ であるから、右辺に2を加えると $$a_0{a}_1\cdots a_n+2=2^{2^{n+1}}+1=a_{n+1}$$ を得る。これで前半が示された。

次に $l>m\geqq 1$ とする。(2)前半を $l-1$ に適用すると $$a_l=a_0{a}_1\cdots a_{l-1}+2$$ である。ここで $m\leqq l-1$ なので、$a_m$ は積 $a_0{a}_1\cdots a_{l-1}$ を割り切る。

いま $a_l$ と $a_m$ の公約数を $d$ とする。すると $d$ は $a_m$ を割り切るので $a_0{a}_1\cdots a_{l-1}$ も割り切り、さらに $a_l$ も割り切る。したがって $$d\mid \{a_l-(a_0{a}_1\cdots a_{l-1})\}=2$$ である。一方、各 $a_n=2^{2^n}+1$ は奇数であるから、$d$ も奇数である。2を割る奇数は1だけなので $d=1$ である。よって $a_l$ と $a_m$ は1より大きい公約数を持たない。

(1) は差の平方を繰り返して直接因数分解し、積を一度に得る。(2)は共通約数を法とする合同式で $2^{2^l}$ が $1$ と $-1$ の両方に合同になることを示す。

(1)

差の平方を繰り返すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2^{2^{n+1}}-1}& {\displaystyle =(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{2^{n-1}}-1)(2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^n}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cdots }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2-1)(2+1)(2^2+1)\cdots (2^{2^n}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_0{a}_1\cdots a_n\mathrm{.}}\end{array}$$よって所要の積の恒等式が成り立つ。

(2)

(1) の式に2を加えれば$$a_{n+1}=2^{2^{n+1}}+1=a_0{a}_1\cdots a_n+2.$$$l>m\geqq 1$ とし、$a_l,a_m$ の正の公約数を $d$ とする。
$d\mid a_m$ だから$$2^{2^m}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)\mathrm{.}$$両辺を $2^{l-m}$ 乗する。$2^{l-m}$ は偶数なので$$2^{2^l}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)\mathrm{.}$$一方、$d\mid a_l$ より $2^{2^l}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$ でもある。したがって$$1\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d),d\mid 2.$$すべての $a_n$ は奇数だから $d$ も奇数であり、$d=1$ である。よって $a_l,a_m$ は互いに素である。