北海道大学 2005年度 後期日程理系（後期）数学 第1問

(1) $m=1$ を代入すると $${\displaystyle \frac{p\cdot 1}{1^2-1-1}}=-p$$ が整数でなければならない。したがって $p$ は整数である。

次に、任意の整数 $m$ について $\gcd (m,m^2-m-1)=1$ である。実際、$m$ と $m^2-m-1$ の公約数は、$m$ と $m^2-m-1-m(m-1)=-1$ の公約数でもあるからである。

よって ${\displaystyle \frac{pm}{m^2-m-1}}$ が整数となるためには、分母 $m^2-m-1$ が $p$ を割り切る必要がある。ところが $\mathrm{\mid }{m}^2-m-1\mathrm{\mid }$ は $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }$ を大きくすればいくらでも大きくなる。非零の整数 $p$ は、自分自身の絶対値より大きい整数で割り切られることはないので、すべての整数 $m$ で条件が成り立つには $p=0$ でなければならない。

逆に $p=0$ なら分子は常に0であり、条件を満たす。したがって $p=0$ である。

(2)

分母を $g(x)=x^2-x-1$ とおく。多項式除法を行うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^4+a{x}^2+bx-a-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x^2-x-1)(x^2+x+a+2)+(a+b+3)x}\end{array}$$である。したがって整数 $m$ について $${\displaystyle \frac{f(m)}{m^2-m-1}}=m^2+m+a+2+{\displaystyle \frac{(a+b+3)m}{m^2-m-1}}$$ である。なお、$m^2-m-1=0$ は整数解をもたないので、分母は整数 $m$ に対して0にならない。

まず必要条件を求める。$m=0$ を代入すると $${\displaystyle \frac{f(0)}{-1}}=a+2$$ であるから、条件が成り立つためには $a+2\in \mathbb{Z}$ でなければならない。したがって $a$ は整数である。

このとき $m^2+m+a+2$ はすべての整数 $m$ に対して整数である。よって、もとの分数が常に整数となるためには ${\displaystyle \frac{(a+b+3)m}{m^2-m-1}}$ もすべての整数 $m$ に対して整数でなければならない。(1)を $p=a+b+3$ に適用すると、これは $a+b+3=0$ を意味する。

逆に、$a$ が整数で $a+b+3=0$ なら、上の式は $${\displaystyle \frac{f(m)}{m^2-m-1}}=m^2+m+a+2$$ となる。これはすべての整数 $m$ に対して整数である。

したがって必要十分条件は $$a\in \mathbb{Z},b=-a-3$$ である。

必要十分性の検算

$a\in \mathbb{Z},b=-a-3$ のとき$$f(m)=(m^2-m-1)(m^2+m+a+2)$$であり、分母は整数 $m$ で0にならない。よって商はすべての整数 $m$ で整数となる。

除法の代わりに $x^2\equiv x+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^2-x-1)$ を繰り返し用いて余りを求める。(1)を余りの係数へ適用し、必要十分条件を決める。

(1)

$m=1$ から $p$ は整数である。また$$\gcd (m,m^2-m-1)=1$$だから、分数が整数なら $m^2-m-1\mid p$ である。左辺の絶対値は $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ で無限に大きくなるので、一定の整数 $p$ に対してすべての $m$ で成り立つのは$$p=0$$だけである。逆向きは明らかである。

(2) $$g(x)=x^2-x-1$$とおく。$g(x)$ を法として$$x^2\equiv x+1$$であるから$$x^4\equiv (x+1{)}^2\equiv 3x+2.$$したがって$$f(x)=x^4+a{x}^2+bx-a-2\equiv (a+b+3)x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}g(x))\mathrm{.}$$$m=0$ を元の分数へ代入すると $a+2$ が整数だから $a\in \mathbb{Z}$ である。そのうえで、商の整式部分は整数値を取り、残りは$${\displaystyle \frac{(a+b+3)m}{m^2-m-1}}$$となる。(1)より、これがすべての整数 $m$ で整数となる必要十分条件は$$a+b+3=0.$$よって$$a\in \mathbb{Z},b=-a-3$$が必要十分条件である。