北海道大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $C_1:y=9x^2$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=18x$ である。したがって、点 $(t,9t^2)$ における接線 $l$ は $y-9t^2=18t(x-t)$ すなわち $y=18tx-9t^2$ である。 $C_2:y=8x^3$ との交点は $8x^3=18tx-9t^2$ で決まる。そこで $h(x)=8x^3-18tx+9t^2$ とおく。

まず $t\leqq 0$ のとき $h^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2-18t\geqq 0$ である。よって $h(x)$ は単調であり、異なる3つの実数解を持たない。したがって $t>0$ とする。 $t>0$ のとき $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2-18t=6(4x^2-3t)$$ より、極値をとる $x$ は $$x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3t}}{2}}$$ である。ここで $$s={\displaystyle \frac{\sqrt{3t}}{2}}$$ とおくと、$x=-s$ で極大、$x=s$ で極小である。 $$s^2={\displaystyle \frac{3t}{4}}$$ より $$8s^3=8s\cdot {\displaystyle \frac{3t}{4}}=6st$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(-s)}& {\displaystyle =-8s^3+18ts+9t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-6st+18st+9t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12st+9t^2>0}\end{array}$$である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(s)}& {\displaystyle =8s^3-18ts+9t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6st-18st+9t^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9t^2-12st}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3t(3t-4s)}\end{array}$$である。

三次方程式 $h(x)=0$ が異なる3つの実数解を持つためには、極大値が正で極小値が負であればよい。極大値はすでに正なので、必要十分条件は $h(s)<0$ である。すなわち $3t(3t-4s)<0$ であり、$t>0$ より $$3t<4s=2\sqrt{3t}$$ である。両辺正なので2乗して $9t^2<12t$ すなわち $0<t<{\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。

(2) $l$ が $C_2$ と原点以外の点で接するとし、その接点の $x$ 座標を $r\mathrm{\ne }0$ とおく。$C_2:y=8x^3$ の接線の傾きは $24r^2$ である。一方、$l$ の傾きは $18t$ なので、傾きの一致から $18t=24r^2$ すなわち $t={\displaystyle \frac{4}{3}}{r}^2$ である。

また接点 $(r,8r^3)$ が直線 $l:y=18tx-9t^2$ 上にあるから $8r^3=18tr-9t^2$ である。$t={\displaystyle \frac{4}{3}}{r}^2$ を代入すると $$8r^3=18\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}{r}^2\cdot r-9{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}{r}^2\right)}^2$$ である。右辺を整理して $8r^3=24r^3-16r^4$ だから $16r^3(1-r)=0$ である。$r\mathrm{\ne }0$ より $r=1$ であり、したがって $t={\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。このとき $$l:y=18\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}x-9{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2=24x-16$$ である。

交点は $8x^3=24x-16$ すなわち $8(x^3-3x+2)=0$ で決まる。ここで $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ であるから、交点の $x$ 座標は $-2$ と $1$ であり、$x=1$ は接点である。

区間 $-2\leqq x\leqq 1$ では、例えば $x=0$ で $C_2$ の値は0、直線の値は $-16$ なので、$C_2$ が上側にある。したがって囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^1\{8x^3-(24x-16)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2x^4-12x^2+16x]}_{-2}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2-12+16)-(32-48-32)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6-(-48)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =54}\end{array}$$である。

(1) は三次式の極大・極小の符号で3実根条件を判定する。(2)では接点を重解 $r$ と見て交点多項式を $8(x-r{)}^2(x-s)$ と因数分解し、係数比較だけで $r,t$ と残る交点を求める。

(1)

接線は$$l:y=18tx-9t^2$$であり、交点方程式は$$h(x)=8x^3-18tx+9t^2=0.$$$t\leqq 0$ なら $h^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2-18t\geqq 0$ で3交点はない。
$t>0$ では $$s=\sqrt{3t}\mathrm{/}2$$ とおくと、$x=-s$ で極大、$x=s$ で極小となり、$$h(-s)>0,h(s)=3t(3t-4s)\mathrm{.}$$異なる3実根をもつ条件は $h(s)<0$ だから$$3t<2\sqrt{3t}⟺0<t<{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$(2)

原点以外の接点の $x$ 座標を $r\mathrm{\ne }0$ とする。交点多項式は $r$ を重解にもつので$$8x^3-18tx+9t^2=8(x-r{)}^2(x-s)$$と書ける。$x^2$ の係数比較から $s=-2r$。さらに $x$ と定数項の比較から$$-24r^2=-18t,16r^3=9t^2\mathrm{.}$$第1式より $t=4r^2\mathrm{/}3$ で、これを第2式へ代入すると $r=1$。よって$$t={\displaystyle \frac{4}{3}},s=-2.$$このとき$$l:y=24x-16,$$区間 $[-2,1]$ では $C_2$ が上側だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^1\{8x^3-(24x-16)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2x^4-12x^2+16x]}_{-2}^1=54.}\end{array}$$