北海道大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$u=y-x,v=2-x-y$ とおく。すると，はじめの二つの不等式は $u>0,v>0$ となる。また $$x={\displaystyle \frac{2-u-v}{2}},y={\displaystyle \frac{2+u-v}{2}}$$ である。

三つ目の不等式に代入すると $$a{\displaystyle \frac{2-u-v}{2}}+b{\displaystyle \frac{2+u-v}{2}}<1$$ である。整理して $${\displaystyle \frac{b-a}{2}}u-{\displaystyle \frac{a+b}{2}}v+a+b-1<0$$ を得る。

第一象限 $u>0,v>0$ をこの直線で三角形の内部に切り取るには，$u$ の係数と $v$ の係数がともに正で，原点が不等式を満たす側にあることが必要十分である。すなわち $${\displaystyle \frac{b-a}{2}}>0,-{\displaystyle \frac{a+b}{2}}>0,a+b-1<0$$ である。

前二者は $b>a,a+b<0$ であり，このとき自動的に $a+b-1<0$ も成り立つ。したがって求める集合は $b>a,a+b<0$ である。これは $(a,b)$ 平面で，直線 $b=a$ の上側，かつ直線 $b=-a$ の下側にある開いた領域である。

もとの領域の頂点から伸びる二つの境界半直線を直接媒介表示する。第三の境界が両方の半直線を正の位置で横切る条件と、頂点を含む条件を整理する。

最初の二つの境界直線は $y=x$、$y=2-x$ であり、交点は $V=(1,1)$ である。領域の二つの境界半直線は$$(x,y)=(1,1)+s(-1,-1)(s>0)$$および$$(x,y)=(1,1)+t(-1,1)(t>0)$$と表せる。

第三の境界 $ax+by=1$ と第一の半直線との交点では$$a(1-s)+b(1-s)=1,$$よって$$s=1-{\displaystyle \frac{1}{a+b}}\mathrm{.}$$第二の半直線との交点では$$a(1-t)+b(1+t)=1,$$よって$$t={\displaystyle \frac{1-a-b}{b-a}}\mathrm{.}$$有限な三角形を作るには $s>0,t>0$ で、頂点 $V$ が第三不等式を満たす必要がある。

$V$ が内部にある条件は$$\begin{array}{cccc}& a+b<1.& & \text{(1)}\end{array}$$このもとで $s>0$ となるには $a+b<0$ が必要十分である。また分子 $1-a-b$ は正なので、$t>0$ は$$b-a>0$$と同値である。逆に $a+b<0$、$b>a$ なら二つの交点はそれぞれ半直線上にあり、三辺で有限な三角形が作られる。

したがって求める集合は$$b>a,a+b<0$$である。