北海道大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

与えられた関係式に $m=1$ を代入すると $$(n+2)a_n-(1+2n)a_1+(1-n)a_{n+1}=0$$ である。$n\geqq 2$ ではこれを $$(n-1)a_{n+1}=(n+2)a_n-(2n+1)a_1$$ と書ける。

ここで $b_n=a_n-a_{1}n$ とおく。上の式に $a_n=b_n+a_{1}n$、$$a_{n+1}=b_{n+1}+a_1(n+1)$$ を代入すると、$(n-1)b_{n+1}=(n+2)b_n$ を得る。したがって $n\geqq 2$ について $${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{(n+1)n(n+2)}}={\displaystyle \frac{b_n}{n(n-1)(n+1)}}$$ であり、$b_n$ は $n(n^2-1)$ に比例する。

(1) $a_1=0$、$a_2=6$ だから $b_n=a_n$、$b_2=6$ である。$2(2^2-1)=6$ なので、比例定数は $1$ であり、$a_n=n(n^2-1)$ である。

実際、$n=1$ で $a_1=0$、$n=2$ で $a_2=6$ を満たす。また上で得た漸化式によって全項が一意に定まるため、これが求める一般項である。

(2) $a_1=1$、$a_2=2$ であるから $b_2=a_2-2a_1=0$ である。漸化式 $(n-1)b_{n+1}=(n+2)b_n$ より、$b_2=0$ ならすべての $n\geqq 2$ で $b_n=0$ である。よって $a_n=a_{1}n=n$ である。

最後に、得られた候補が元の「すべての $m,n$」の条件を満たすことを確認する。
$a_r=r$ および $a_r=r^3-r$ をそれぞれ元の左辺へ代入して展開すると
いずれも $0$ になる。したがって (1)(2) の候補は必要条件だけでなく、
実際に元の関係式を満たす。

与式の左辺が数列について線形であることを利用する。まず基本解 $n$ と $n^3$ がすべての $m,n$ で条件を満たすことを確認し、$m=1$ から得る一意性により一般解をその一次結合に限定する。

与式の左辺を $L_{m,n}(a)$ と書く。数列 $u_n=n$ を代入すると$$L_{m,n}(u)=(n+2m)n-(m+2n)m+(m-n)(m+n)=0.$$また $v_n=n^3$ を代入して展開しても$$L_{m,n}(v)=0$$となる。したがって任意の定数 $A,B$ に対して$$a_n=A{n}^3+Bn$$は、すべての正整数 $m,n$ について元の関係式を満たす。

逆に、元の関係式で $m=1$ とおくと、$n\geqq 2$ に対して$$(n-1)a_{n+1}=(n+2)a_n-(2n+1)a_1\mathrm{.}$$よって $a_1,a_2$ を指定すれば、その後の全項は一意に定まる。
一方 $A{n}^3+Bn$ の $n=1,2$ における値は$$A+B=a_1,8A+2B=a_2\mathrm{.}$$この連立方程式は行列式 $-6\mathrm{\ne }0$ をもつので、任意の
$a_1,a_2$ に対して $A,B$ が一意に決まる。したがってこれが一般解である。

(1) $$A+B=0,8A+2B=6$$より $A=1,B=-1$。したがって$$a_n=n^3-n=n(n^2-1)\mathrm{.}$$(2)$$A+B=1,8A+2B=2$$より $A=0,B=1$。したがって$$a_n=n\mathrm{.}$$