北海道大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $\varphi (x)=x-1+e^{-x}$ とおく．すると ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=1-e^{-x}$ であり，$x<0$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)<0$，$x>0$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である．したがって $\varphi (x)$ は $x=0$ で最小値をとり，$\varphi (0)=0$ である．よってすべての実数 $x$ について $x-1+e^{-x}\geqq 0$ すなわち $1-e^{-x}\leqq x$ が成り立つ．

(2) $a_n>c$ とする．指数関数 $e^{-x}$ は減少するので $$a_{n+1}=e^{-a_n}<e^{-c}=c$$ であり，$0<c-a_{n+1}$ がわかる．また $$c-a_{n+1}=e^{-c}-e^{-a_n}=e^{-c}\{1-e^{-(a_n-c)}\}$$ である．ここで $a_n-c>0$ なので，(1) を $x=a_n-c$ に用いると $1-e^{-(a_n-c)}<a_n-c$ である．したがって $$0<c-a_{n+1}<e^{-c}(a_n-c)$$ が成り立つ．

(3) まず $c=e^{-c}$ より $0<c<1$ である．実際，$c>0$ は明らかであり，$c\geqq 1$ なら $c=e^{-c}\leqq e^{-1}<1$ となって矛盾する． $a_0=0<c$，$a_1=1>c$ である．また，$a_n<c$ なら $$a_{n+1}=e^{-a_n}>e^{-c}=c$$，$a_n>c$ なら $a_{n+1}<c$ である．よって数列は $c$ の下側と上側を交互に動く．

次に $c$ からの距離が縮むことを示す．$a_n>c$ の場合は (2) と $e^{-c}=c<1$ より $0<c-a_{n+1}<a_n-c$ である．$a_n<c$ の場合は $$a_{n+1}-c=e^{-a_n}-e^{-c}=e^{-a_n}\{1-e^{-(c-a_n)}\}$$ であり，(1) から $$0<a_{n+1}-c<e^{-a_n}(c-a_n)\leqq c-a_n$$ となる．したがって各段階で $\mathrm{\mid }{a}_{n+1}-c\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{a}_n-c\mathrm{\mid }$ が成り立つ．

このため偶数番目 $a_{2m}$ は $c$ より小さい側から上に近づき，奇数番目 $a_{2m+1}$ は $c$ より大きい側から下に近づく．そこで$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2m}=u,\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2m+1}=v$$とおくと $u\leqq c\leqq v$ であり，漸化式から $$v=e^{-u},u=e^{-v}$$ である．

もし $u<v$ なら $$v-u=e^{-u}-e^{-v}=e^{-u}\{1-e^{-(v-u)}\}$$ である．(1) を $x=v-u>0$ に用いると $1-e^{-(v-u)}<v-u$ なので $v-u<e^{-u}(v-u)$ となる．ここで $e^{-u}=v$ であり，$v\leqq 1$ だから $v-u<v(v-u)\leqq v-u$ となって矛盾する．したがって $u=v$ である．

共通の極限を $L$ とすると，$L=e^{-L}$ を満たす．問題文よりこの実数はただ1つで，それが $c$ である．よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=c$$である．

反復で固定点へ近づく様子

(2) は平均値の定理で指数関数の差を評価する．(3) は2段階写像 $g(x)=e^{-e^{-x}}$ を導入し，$0\leqq g^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq e^{-1}<1$ から偶数項・奇数項がともに $c$ へ縮むことを示す．

(1)

$\varphi (x)=e^{-x}-1+x$ とおくと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=1-e^{-x},{\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}>0.$$よって $\varphi$ は $x=0$ で最小値 $\varphi (0)=0$ をとる．したがって$$1-e^{-x}\leqq x\mathrm{.}$$(2)

$a_n>c$ とする．関数 $F(x)=e^{-x}$ に平均値の定理を用いると，ある
$\xi$ $(c<\xi <a_n)$ が存在して$$c-a_{n+1}=F(c)-F(a_n)=e^{-\xi }(a_n-c)\mathrm{.}$$また $F$ は狭義単調減少だから $c-a_{n+1}>0$ であり，
$e^{-\xi }<e^{-c}$ なので$$0<c-a_{n+1}<e^{-c}(a_n-c)\mathrm{.}$$(3)$$g(x)=e^{-e^{-x}}$$とおくと $a_{n+2}=g(a_n)$，かつ $g(c)=c$ である．$a_0=0$，$a_1=1$ であり，
漸化式からすべての $n$ について $0\leqq a_n\leqq 1$ である．$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x-e^{-x}}\mathrm{.}$$$x\geqq 0$ では $x+e^{-x}\geqq 1$ だから$$0<g^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq e^{-1}<1.$$平均値の定理により$$\mathrm{\mid }{a}_{n+2}-c\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }g(a_n)-g(c)\mathrm{\mid }\leqq e^{-1}\mathrm{\mid }{a}_n-c\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$これを繰り返すと$$\mathrm{\mid }{a}_{2m}-c\mathrm{\mid }\leqq e^{-m}\mathrm{\mid }{a}_0-c\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{a}_{2m+1}-c\mathrm{\mid }\leqq e^{-m}\mathrm{\mid }{a}_1-c\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$右辺はいずれも0へ収束するので，偶数項・奇数項ともに $c$ へ収束する．したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=c\mathrm{.}$$