北海道大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

まず $15<e^e$ を示す。与えられた値より $$\log 15=\log 3+\log 5=1.099+1.609=2.708$$ である。一方 $e=2.718$ だから $\log 15<e$ である。対数関数は増加するので $15<e^e$ を得る。

次に $e^e<15.5$ を示す。 $$15.5=15\cdot {\displaystyle \frac{31}{30}}$$ である。ここで $x>0$ に対して $$\log (1+x)>{\displaystyle \frac{x}{1+x}}$$ が成り立つ。これは，$$\log (1+x)={\int }_1^{1+x}{\displaystyle \frac{1}{t}}dt$$ と見れば，区間 $[1,1+x]$ で $1\mathrm{/}t\geqq 1\mathrm{/}(1+x)$ であり，内部ではより大きいことから分かる。 $x={\displaystyle \frac{1}{30}}$ とすると $$\log {\displaystyle \frac{31}{30}}>{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}30}{31\mathrm{/}30}}={\displaystyle \frac{1}{31}}$$ である。したがって $$\log 15.5=\log 15+\log {\displaystyle \frac{31}{30}}>2.708+{\displaystyle \frac{1}{31}}$$ である。ここで ${\displaystyle \frac{1}{31}}>0.032$ だから $\log 15.5>2.740$ である。これは $2.718=e$ より大きいので $e<\log 15.5$ であり，$e^e<15.5$ となる。

以上より $15<e^e<15.5$ である。したがって $e^e$ に最も近い整数は $15$ である。

最も近い整数を15と確定するため、$15<e^e<15.5$を示す。下側は与えられた対数値、上側は$\log x$に平均値の定理を用いて$\log 15.5-\log 15>1\mathrm{/}31$と評価する。

与えられた値より$$\log 15=\log 3+\log 5=1.099+1.609=2.708<2.718=e\mathrm{.}$$対数関数は増加するから$$15<e^e\mathrm{.}$$次に$\log x$へ区間$[15,15.5]$で平均値の定理を用いる。ある$\xi$ $(15<\xi <15.5)$が存在して$$\log 15.5-\log 15={\displaystyle \frac{0.5}{\xi }}>{\displaystyle \frac{0.5}{15.5}}={\displaystyle \frac{1}{31}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{1}{31}}>0.032$$であるから$$\log 15.5>2.708+0.032=2.740>2.718=e\mathrm{.}$$したがって$$e^e<\mathrm{15.5.}$$以上より$$15<e^e<\mathrm{15.5.}$$ゆえに$e^e$に最も近い整数は$$15$$である。